План Визначення функції багатьох змінних. Дійсна функція Визначення границі функції багатьох змінних




Скачати 40.06 Kb.
НазваПлан Визначення функції багатьох змінних. Дійсна функція Визначення границі функції багатьох змінних
Дата конвертації20.07.2013
Розмір40.06 Kb.
ТипЛекція
Лекція 21. Границя функції багатьох змінних

План

  1. Визначення функції багатьох змінних. Дійсна функція

  2. Визначення границі функції багатьох змінних

  3. Границя функції і арифметичні операції над функціями


1.Визначення функції багатьох змінних. Дійсна функція

Нехай подані дві множини: . Нехай є закон, який ставить в співвідношення деяке . В цьому випадку кажуть, що на визначена функція, яка діє в , і позначають

.
Тут - область визначення функції, а її область значень знаходиться в множині . Множину називають образом множини при відображенні і позначають .

Нехай подана множина . Тоді множина усіх таких , що називається прообразом множини при відображенні .

Розглянемо функції, які визначені на деяких множинах простору із значеннями у просторі :

. (10)
Якщо

, (15)
то така функція називається дійсною.

Розглянемо функцію виду (10). Якщо , то має вигляд: . Відповідно до (10) можно представити як , де , - дійсні функції. Таким чином, кожна функція (10) породжує дійсних функцій.

Приклад. Визначимо сукупність функцій , що діють для будь-якого аргументу наступним чином: . Областю визначення функцій є весь простір , область значень - .

Приклад. Визначити область визначення для функції . Оскільки функція визначена для аргументів, значення яких знаходяться на сегменті , то

.
Таким чином, геометрично область визначення функції - це така множина точок , яка зображена на рис.1.
^ 2. Визначення границі функції багатьох змінних

Нехай визначена функція

.
Визначення 1. Точка називається границею функції на множині , коли прямує до , де - гранична точка множини , якщо

для , що для такого, що виконується
.
Визначення 2 (границі функції багатьох змінних у термінах послідовностей). Точка називається границею функції у точці , яка є граничною для множини , по множині , якщо для будь-якої послідовності , такої, що , відповідна послідовність значень функції збігається до .


Рис.1.
Позначається це наступним чином:
.
Теорема 1. Нехай , , точка - гранична точка множин , . Нехай

, , і ,

тоді не існує.

Приклад. Нехай , тобто . Доведемо, що не існує .

Нехай

,
.
Тоді

,
.
Оскільки , то не існує.

Зауваження. Існування рівних границь функції , по усім прямим, які проходять через точку , ще не гарантує існування .

Приклад. Нехай , тобто . Доведемо, що не існує .

Нехай

.
Тоді

,
Тобто по усім прямим, які проходять через точку (0,0), границя функції існує і дорівнює 0.

Визначемо ще одну підмножину області визначення функції:
.
Для неї

,
тому не існує.
^ 3.Границя функції і арифметичні операції над функціями

Теорема 2. Нехай функції мають наступний вигляд:
.
Нехай - гранична точка множини . Нехай , . Тоді існують границі функцій , , де , по множині , до того ж:
,
.
Питання

  1. Що називається областю визначення функції, областю значень функції?

  2. Яку множину називають образом множини при відображенні ?

  3. Яка множина називається прообразом множини при відображенні ?

  4. Визначення функції багатьох змінних.

  5. Визначення дійсної функції багатьох змінних.

  6. Визначення границі функції багатьох змінних за Коші, за Гєйне.

  7. Границя функції та арифметичні операції.

Схожі:

План Визначення функції багатьох змінних. Дійсна функція Визначення границі функції багатьох змінних iconПлан Визначення частинної похідної функції багатьох змінних Зв’язок...
Визначення Частинною похідною функції по змінній, чи i-ою частинною похідною в точці, називається
План Визначення функції багатьох змінних. Дійсна функція Визначення границі функції багатьох змінних iconЛекція 26. Похідні вищого порядку функції багатьох змінних План
Визначення частинної похідної -го порядку функції багатьох змінних. Поняття мішаної похідної
План Визначення функції багатьох змінних. Дійсна функція Визначення границі функції багатьох змінних iconІ. Функції багатьох змінних
Функції кількох змінних. Область визначення. Лінії та поверхні рівня
План Визначення функції багатьох змінних. Дійсна функція Визначення границі функції багатьох змінних iconПлан Визначення локального екстремума функції багатьох змінних Необхідна...
Критерій Сильвестру знаковизначеності симетричної матриці. Достатня умова локального екстремума функції багатьох змінних
План Визначення функції багатьох змінних. Дійсна функція Визначення границі функції багатьох змінних iconЛекція 22. Неперервність функції багатьох змінних
З визначення 1 витікає, що для точки, в якій функція є неперервною, можливі два варіанти
План Визначення функції багатьох змінних. Дійсна функція Визначення границі функції багатьох змінних icon1. Числова функція. Область визначення І область значення функції. Способи задання функції
В математики числова функція це функція, області визначення І значень якої є підмножинами числових множин як правило, безлічі дійсних...
План Визначення функції багатьох змінних. Дійсна функція Визначення границі функції багатьох змінних iconПитання для пiдготовки до екзамену 2008-2009 (стаціонар, 2 семестр)
Границя функції в точці. Однобічні границі. Границя функції на нескінченності. Нескінченно велика функція
План Визначення функції багатьох змінних. Дійсна функція Визначення границі функції багатьох змінних icon1. Знайти область визначення функції та зобразити її графічно
Перевірити, чи є функція розв’язком даного диференціального рівняння (-довільна, достатню кількість раз диференційовна функція)
План Визначення функції багатьох змінних. Дійсна функція Визначення границі функції багатьох змінних iconМультисервісна оптична транспортна мережа зв’язку миколаївської області
Для конфігурації вузлів мережі, складання специфікації змінних блоків та розробки схеми з’єднань змінних блоків на всіх вузлах мережі...
План Визначення функції багатьох змінних. Дійсна функція Визначення границі функції багатьох змінних icon82. Поняття культури. Структура І функції культури
Серед основних таких функцій — пізнавальна, комунікативна, регулятивна, прогностична, ціннісно-орієнтаційна, які органічно взаємопов'язані...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Школьные материалы


База даних захищена авторським правом © 2015
звернутися до адміністрації
skaz.com.ua
Головна сторінка