Лекція 22. Неперервність функції багатьох змінних




НазваЛекція 22. Неперервність функції багатьох змінних
Дата конвертації06.07.2013
Розмір58.1 Kb.
ТипЛекція
Лекція 22. Неперервність функції багатьох змінних

План

  1. Визначення неперервної функції багатьох змінних. Поняття ізольованої точки

  2. Неперервність суми, добутку, частки неперервних функцій багатьох змінних

  3. Складна функція і її неперервність

  4. Неперервні функції на компактах

  5. Рівномірна неперервність функції багатьох змінних


1.Визначення неперервної функції багатьох змінних. Поняття ізольованої точки

Визначення 1. Нехай

,
а точка . Кажуть що функція неперервна в точці , якщо

для , що для такого, що виконується
.
З визначення 1 витікає, що для точки , в якій функція є неперервною, можливі два варіанти:

  1. Нехай - гранична точка множини . Тоді функція буде неперервною в точці , якщо .

  2. Нехай не є граничною точкою множини . Така точка множини називається її ізольованою точкою. Оскільки не є граничною, то , яка не містить інших точок множини , крім : . Тоді для , яке задовольняє умові: , буде виконуватися нерівність: для , оскільки , яке задовольняє умові: , тільки одне - . Таким чином, якщо множина має ізольовані точки, то неперервна в кожній з них.

Нехай . Така функція визначає дійсних функцій: .

Теорема 1. Для того, щоб функція , , була неперервна в точці необхідно і достатньо, щоб кожна з дійсних функцій , була неперервною в точці .
^ 2.Неперервність суми, добутку, частки неперервних функцій багатьох змінних

Теорема 2. Нехай визначені функції . Якщо неперервні в точці , то

  • - неперервні в точці ;

  • Якщо - дійсні функції, то неперервна в точці ;

  • Якщо - дійсні функції і то неперервна в точці .


^ 3.Складна функція і її неперервність

Нехай

,

і . Тоді на множині визначена функція , яка називається складною функцією:
. (10)
Теорема 3 (про неперервність складної функції). Нехай на множині визначена складна функція (10). Якщо функція неперервна в точці , а функція неперервна в відповідній точці , то складна функція неперервна в точці .

Визначення 2. Нехай . Кажуть, що функція неперервна на множині , якщо вона неперервна в кожній точці цієї множини.

Приклад. Розглянемо сукупність функцій:
.
Ці функції неперервні в . Дійсно, розглянемо
.
Задамо довільно , нехай . Тоді для такого, що , буде виконуватися: , тобто функції , , неперервні в , тобто неперервні в просторі .

Приклад. Розглянемо сукупність функцій:
,
тобто .
Доведемо, що функції , , неперервні в будь-якій точці простору . Функції є складними функціями: . Зовнішня функція одної змінної неперервна в , функції , , неперервні на , тоді за попередньою теоремою складні функції , , неперервні в просторі .
^ 4.Неперервні функції на компактах

Визначення 3. Функція називається обмеженою на множині , якщо , що для .

Теорема 4 (Вейєрштрасса). Нехай , неперервна на , - компакт, тоді обмежена на множині .

Доказ. Припустимо, що неперервна на , - компакт, але необмежена на множині . Тоді для таке, що

. (20)
Таким чином можна побудувати векторну послідовність , для .

Множина - компакт, тому - обмежена множина, а тому побудована послідовність теж обмежена. За лемою Больцано-Вейєрштрасса з кожної обмеженої послідовності можно добути збіжну підпослідовність . Для елементів цієї підпослідовності виконується умова (20), тобто
. (30)
Позначимо: .

Оскільки - компакт, то - замкнена множина, тобто містить всі свої граничні точки, тому . Функція неперервна на , тому неперервна в точці , а це означає, що
.
Але з (30) витікає, що .
Отримали суперечність, тому наше припущення про необмеженість функції є хибним.
^ 5.Рівномірна неперервність функції багатьох змінних

Нехай функція і неперервна в . За визначенням це означає, що

для , що для такого, що виконується
.
На практиці буде залежити не тільки від , а і від , тобто . Виникає питання: чи можна для заданого завжди знайти таке , яке б залежали тільки від і підходило б для ?

Визначення 4. Функція , називається рівномірно неперервною на множині , якщо

для , що для таких, що виконується
.
Будь-яка рівномірно неперервна на функція неперервна в кожній точці цієї множини. Навпаки взагалі не вірно.

Теорема 5 (Кантора). Нехай , неперервна на , - компакт, тоді рівномірно неперервна на множині .
Питання

  1. Визначення неперервної функції багатьох змінних.

  2. Поняття ізольованої точки множини.

  3. Якою буде для функції, визначеної на множині , ізольована точка множини ? Пояснити відповідь.

  4. Як повязана неперервність функції , з неперервність дійсних функцій, які вона породжує?

  5. Нехай функції неперервні в точці . Що можна сказати про неперервність функцій ,, ?

  6. Визначення складної функції багатьох змінних.

  7. Теорема про неперервність складної функції багатьох змінних.

  8. Коли функція . Називається неперервною на множині ?

  9. Коли функція називається обмеженою на множині ?

  10. Теорема Вейєрштрасса.

  11. Яка функція , називається рівномірно неперервною на множині ?

  12. Теорема Кантора.

Схожі:

Лекція 22. Неперервність функції багатьох змінних iconЛекція 26. Похідні вищого порядку функції багатьох змінних План
Визначення частинної похідної -го порядку функції багатьох змінних. Поняття мішаної похідної
Лекція 22. Неперервність функції багатьох змінних iconПлан Визначення частинної похідної функції багатьох змінних Зв’язок...
Визначення Частинною похідною функції по змінній, чи i-ою частинною похідною в точці, називається
Лекція 22. Неперервність функції багатьох змінних iconІ. Функції багатьох змінних
Функції кількох змінних. Область визначення. Лінії та поверхні рівня
Лекція 22. Неперервність функції багатьох змінних iconПлан Визначення функції багатьох змінних. Дійсна функція Визначення...
Нехай подані дві множини: Нехай є закон, який ставить в співвідношення деяке. В цьому випадку кажуть, що на визначена функція, яка...
Лекція 22. Неперервність функції багатьох змінних iconПлан Визначення локального екстремума функції багатьох змінних Необхідна...
Критерій Сильвестру знаковизначеності симетричної матриці. Достатня умова локального екстремума функції багатьох змінних
Лекція 22. Неперервність функції багатьох змінних iconМультисервісна оптична транспортна мережа зв’язку миколаївської області
Для конфігурації вузлів мережі, складання специфікації змінних блоків та розробки схеми з’єднань змінних блоків на всіх вузлах мережі...
Лекція 22. Неперервність функції багатьох змінних iconРозділ 3 систематичний огляд живого світу
Великі організми, які ми звикли бачити навколо себе – багатоклітинні, що складаються з багатьох клітин, наприклад, тіло людини побудовано...
Лекція 22. Неперервність функції багатьох змінних icon82. Поняття культури. Структура І функції культури
Серед основних таких функцій — пізнавальна, комунікативна, регулятивна, прогностична, ціннісно-орієнтаційна, які органічно взаємопов'язані...
Лекція 22. Неперервність функції багатьох змінних iconЛекція 1 Тема: «Предмет, зміст І структура курсу»
Поняття закону, принципу, мети, функції, технології, структури; їх використання в управлінні персоналом
Лекція 22. Неперервність функції багатьох змінних iconЛекція 1 Тема: “ Сучасна українська літературна мова як основа стилістики” План
Сучасна українська літературна мова ( сулм ) утворилася різноманітних структурних одиниць, які формувалися упродовж багатьох століть...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Школьные материалы


База даних захищена авторським правом © 2015
звернутися до адміністрації
skaz.com.ua
Головна сторінка