План Визначення локального екстремума функції багатьох змінних Необхідна умова локального екстремума




Скачати 38.59 Kb.
НазваПлан Визначення локального екстремума функції багатьох змінних Необхідна умова локального екстремума
Дата конвертації12.08.2013
Розмір38.59 Kb.
ТипЛекція
Лекція 27. Локальний екстремум функції багатьох змінних

План

  1. Визначення локального екстремума функції багатьох змінних

  2. Необхідна умова локального екстремума

  3. Критерій Сильвестру знаковизначеності симетричної матриці. Достатня умова локального екстремума функції багатьох змінних


1.Визначення локального екстремума функції багатьох змінних

Нехай , - відкрита, .

Визначення 1. Кажуть, що в точці функція має локальний максимум (локальний мінімум), якщо така, що
.
Точки локального максімума і мінімума називаються точками локального екстремума.

Приклад. Функція . Ця функція . Якщо , то для маємо: , а . Тоді для , :
,
тобто в точці за визначенням функція має локальний максимум.
^ 2.Необхідна умова локального екстремума

Теорема 1 (Ферма). Нехай функція , - відкрита, має в точці локальний екстремум і диференційована в цій точці. Тоді (тобто ).

Визначення 2. Точки множини , де функція диференційована і її похідна дорівнює нулю, називаються стаціонарними точками функції.

Приклад. Знайти точки функції , підозрілі на екстремум. Оскільки подана функція є скрізь диференційованою на , то підозрілими на екстремум є точки, де похідна функції є нульовою: всі частинні похідні дорівнюють нулю. Тому для рішення задачі знайдемо частинні похідні функції:
, ,
прирівнюючи їх до 0, отримаємо систему:
.
Таким чином, підозрілими на екстремум є чотири точки: (2,1), (1,2), (-1,-2), (-2,-1). Щоб зробити висновок про те, чи буде там дійсно екстремум, требо мати достатні умови.
^ 3.Критерій Сильвестру знаковизначеності симетричної матриці. Достатня умова локального екстремума функції багатьох змінних

Теорема 2 (критерій Сильвестру знаковизначеності симетричної матриці). Для того, що симетрична матриця була додатно визначеною, необхідно ідостатньо, щоб визначники головних підматриць цієї матриці були додатними. Для того, що симетрична матриця була від’ємно визначеною, необхідно ідостатньо, щоб знаки визначників головних підматриць цієї матриці змінювалися від кроку до кроку, то того ж .

Приклад. Нехай

.

Головні підматриці цієї матриці – це
, , ,
а їх визначники відповідно: , , . Таким чином, подана матриця є додатно визначеною.

Визначення 3. Кажуть, що функція , - відкрита, належить класу і позначають: , якщо ця функція має всі частинні похідні другого порядку, і ці похідні неперервні скрізь на .

Нехай точка є підозрілою на екстремум для функції . Позначимо . Оскільки всі похідні другого порядку неперервні на , то мішані похідні є рівними (за теоремою з лекції 26): . Тоді матриця частинних похідних другого порядку має вигляд:
.
Теорема 3 (достатня умова локального екстремума функції). Нехай , , - відкрита, точка - стаціонарна точка функції , - матриця частинних похідних другого порядку. Тоді має у точці локальний екстремум, якщо матриця знаковизначена, а саме: локальний мінімум, якщо додатно визначена; локальний максимум, якщо відємно визначена. Якщо матриця не є знаковизначеною, то екстремума в точці немає.

Приклад. В одному з попередніх прикладів для функції були знайдені точки, підозрілі на екстремум: (2,1), (1,2), (-1,-2), (-2,-1). Перевіримо для деяких з них, чи дійсно вони є точками екстремума. Спочатку знайдемо похідні другого порядку:
,
Нехай . Побудуємо матрицю похідних другого порядку для цієї точки:
.
Отримана матриця є додатно визначеною, оскільки , , що говоре про те, що в точці подана функція має локальний мінімум.
Питання

  1. Як визначається локальний мінімім (локальний максимум) функції багатьох змінних?

  2. Що таке локальний екстремум функції багатьох змінних?

  3. Чи може функція багатьох змінних мати декілька локальних екстремумів?

  4. Які точки області визначення функції багатьох змінних є підозрілими на екстремум?

  5. Необхідна умова локального екстремума.

  6. Які точки області визначення функції називаються стаціонарними точками функції?

  7. Яка матриця називається додатно (від’ємно) визначеною?

  8. Критерій Сильвестру знаковизначеності симетричної матриці.

  9. Достатня умова локального екстремума функції багатьох змінних.

Схожі:

План Визначення локального екстремума функції багатьох змінних Необхідна умова локального екстремума iconПлан Визначення частинної похідної функції багатьох змінних Зв’язок...
Визначення Частинною похідною функції по змінній, чи i-ою частинною похідною в точці, називається
План Визначення локального екстремума функції багатьох змінних Необхідна умова локального екстремума iconПлан Визначення функції багатьох змінних. Дійсна функція Визначення...
Нехай подані дві множини: Нехай є закон, який ставить в співвідношення деяке. В цьому випадку кажуть, що на визначена функція, яка...
План Визначення локального екстремума функції багатьох змінних Необхідна умова локального екстремума iconЛекція 26. Похідні вищого порядку функції багатьох змінних План
Визначення частинної похідної -го порядку функції багатьох змінних. Поняття мішаної похідної
План Визначення локального екстремума функції багатьох змінних Необхідна умова локального екстремума iconІ. Функції багатьох змінних
Функції кількох змінних. Область визначення. Лінії та поверхні рівня
План Визначення локального екстремума функції багатьох змінних Необхідна умова локального екстремума iconЛекція 22. Неперервність функції багатьох змінних
З визначення 1 витікає, що для точки, в якій функція є неперервною, можливі два варіанти
План Визначення локального екстремума функції багатьох змінних Необхідна умова локального екстремума iconМодуль 2 ( 20010 учбовий рік ) Програма з курсу Математичного аналізу...
Диференціал функції. Необхідна та достатня умова можливості продиференціювати функцію
План Визначення локального екстремума функції багатьох змінних Необхідна умова локального екстремума iconФілософія стародавності
Глибоке І творче вивчення філософії – необхідна умова підготовки висококваліфікованих фахівців
План Визначення локального екстремума функції багатьох змінних Необхідна умова локального екстремума iconПоняття та призначення методології юридичної науки
Теоретичне осмислення й усвідомлення цих проблем – необхідна умова наукового управління суспільними процесами. Саме життя висунуло...
План Визначення локального екстремума функції багатьох змінних Необхідна умова локального екстремума iconМультисервісна оптична транспортна мережа зв’язку миколаївської області
Для конфігурації вузлів мережі, складання специфікації змінних блоків та розробки схеми з’єднань змінних блоків на всіх вузлах мережі...
План Визначення локального екстремума функції багатьох змінних Необхідна умова локального екстремума iconПлан Логіка та визначення її як науки Історичний розвиток логіки
Дослідження, пошук істини знаходиться в основі рішення складніших проблемних задач й правильна організація мислення – умова високої...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Школьные материалы


База даних захищена авторським правом © 2015
звернутися до адміністрації
skaz.com.ua
Головна сторінка