Лекція №15: аналіз процесів в ек першого порядку класичним часовим методом




Скачати 150.67 Kb.
НазваЛекція №15: аналіз процесів в ек першого порядку класичним часовим методом
Дата конвертації06.07.2013
Розмір150.67 Kb.
ТипЛекція
skaz.com.ua > Математика > Лекція



Лекція №15:АНАЛІЗ ПРОЦЕСІВ В ЕК ПЕРШОГО ПОРЯДКУ КЛАСИЧНИМ ЧАСОВИМ МЕТОДОМ .

Навчальні питання:
  1. Загальні поняття про перехідні процеси в електричних колах та методи їх аналізу. Початкові умови.

  2. Закони комутації. Початкові значення.

  3. Складання та рішення диференційних рівнянь лінійних електричних кіл.

  4. Вільні напруги та струми в колах першого порядку.



ЛІТЕРАТУРА


Л3. Деменков М.В. Теорія кіл та сигналів ч.2 ЖВІРе,1999р с 5-49

Час: 2 години


ЛІТЕРАТУРА



Деменков М.В. Теорія кіл та сигналів ч.2 ЖВІРе,1999р с 5-49

^
МАТЕРІАЛЬНЕ ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ




  1. ЛЕКТОР 2000, слайди.

  2. Установка для демонстрації перехідних процесів в колах RC та RL.



Навчальна мета: вивчити методику аналізу ПП в нерозгалужених колах першого порядку, встановити вплив параметрів кола на тривалість перехідних процесів.
^ Виховна мета: показати, що знання аналізу ПП офіцеру більш ефективно та якісно працювати з технікою; добитися розуміння важливості вивчаємого курсу; розвивати почуття відповідальності курсантів за захист Батьківщини при вивченні дисципліни в інституті.



  1. ^ Загальні поняття про перехідні процеси у електричних колах та методи їх аналізу.


У ХІХ сторіччі бурхливе впровадження електрики в промисловість трохи гальмувалась небезпечними явищами, обумовленими перехідними процесами, які спричинялись частими аваріями. Розвиток телеграфа, винайденого у 1831 році російським вченим Шиллінгом П.Л. та Якобі В.С., також затримувався невмінням подолати небажані явища, спричинені перехідними процесами (ПП).

Можливості врахування ПП були обмежені нерозумінням їх фізичної суті та відсутності приладів для їх експериментального дослідження.

Якщо для теоретичного вивчення ПП до того часу був розроблений відповідний математичний аппарат (теорія лінійних ДУ, операційне числення), то для його експериментального дослідження (спостереження) тільки в 1907 році російський вчений Мандельштам Л.І. запропонував використання ЕЛТ з двома парами відхиляючих пластин. Наявність такого апарату та приладів дозволяють вивчати ПП та враховувати їх при проектуванні та коструюванні різних пристроїв.

^ Перехідний процес при переході ЕК від одного сталого режиму до другого може бути як нормальним режимом кола, так і небажаним явищем.

Комутацією називають підключення (відключення) кола до джерела енергії, зміна напруги на вході кола, скачкоподібна зміна схеми кола чи параметрів його елементів (R, L, C).

На схемах кіл комутацію позначають в вигляді ключа зі стрілкою (Рис.1).

Вважають, що комутація здійснюється миттєво.






підключення відключення переключення
Перехідні процеси в ЕК, що не включають енергоємких елементів (L, C) можна вважати відсутніми, тому, що новий сталий режим у них виникає під час комутації.

В ЕК з енергоємкими елементами перехідні процеси продовжуються деякий час тому, що енергія електричних полів конденсаторів і магнітних полів котушок індуктивності внаслідок дії закону безперервності енергії в часі не можуть змінюватись скачком.



а) підключення б) відключення в) переключення

Рис. 1



Р
ис. 2
Т.ч. причиною ПП є неможливість скачкоподібної зміни електричної енергії при переході від одного сталого режиму до іншого.

Вказані ПП тривають довго, але на практиці їх вважають практично закінченими за період (3…5Ц) Рис.2.






Момент комутації приймають за початок відліку часу, тобто вважають, що в момент комутації t=0. Моменти, що передують безпосередньо комутації позначають –0, а які ідуть за моментом комутації +0.









R


C


0



+





S


r




Рис. 1а
З осцилограми бачимо, що у інтервалі часу 0…1=5Ц напруга на конденсаторі для ЕК рис. 1а змінюється за деяким законом від 0 до величини, близької до U0.

Як же установити закон зміни напруги в перехідному режимі ?

У загальному випадку для кола n-порядку для опису перехідних процесів можна використовувати диференціальні рівняння, що представлені у вигляді:
. (1)

де х(t) – шукана (вихідна) величина – відгук кола (U, I);

s(t) - вхідне діяння;

аі(t), вj(t) – коефіцієнти, які визначаються схемою кола та параметрами його елементів.

x(i)(t), s(j)(t) – i-та та j- похідні відповідно реакції кола та діяння.

Порядок ЕК визначається кількістю реактивинх елементів, включених в ЕК.

Якщо електричне коло лінійне та має сталі зосереджені параметри, то процеси в ньому описуються НЛДР (неоднорідні лінійні диференційні рівняння) з постіними коефіцієнтами.

Неоднорідне ЛДР (НЛДР) для кола n-го порядку має вигляд:
(2)

де аn, вm - коефіцієнти, які залежать від конфігурації кола та його параметрів.

ЛДР бувають однорідними (права частина = 0) та неоднорідними (права частина = 0).

Відомо, що НЛДР має слідуючий вигляд загального рішення:
x(t) = x1(t) + x2(t)

де x1(t) - загальне рішення ОЛДР (права частина =0, тобто зовнішнє діяння (джерела w) = 0). Процес, який описується цією складовою, називається вільним процесом, а x1(t) складова – вільною складовою – xвіл(t).

Вільні процеси виникають за рахунок запасу енергії реактивних елементів після відключення Е. Таким чином, вільні процеси в лінійних колах можна описати ЛОДР.

Характер вільних процесів (закон змінення загального рішення ЛОДР xвіл(t)), визначається елементами кола та схемою.

x2(t) – часткове рішення НАДР, яке визначається тільки видом вхідного діяння та називається примусовою складовою, що вказує на її повну залежність від діяння величини – xпр(t).
Отже, x(t) = xвіл(t) + xпр(t) (*)
Метод розрахунку перехідних процесів в лінійних електричних колах, оснований на представленні загального рішення ДР у вигляді (*), називається класичним методом аналізу електричних кіл у часовій області, тому що xвіл(t) та xпр(t) є функціями часу.

В реальних колах вільні процеси затухають:
lim xвіл (t) = 0lim x (t) = lim (xвіл(t)+ xпр(t)) = xпр(t) = xуст(t),

xуст(t) – установлене значення примусової складової .
Таким чином xпр(t) = xуст(t).

Це дозволяє у випадках, коли діяння є постійним чи гармонічним, визначити xпр(t) методами розрахунку кіл у сталому режимі.



Загальне рішення однорідного ЛДР при постійних дійсних коефіцієнтах ак=const та при ак = 0 зводиться до знаходження коренів характеристичного многочлена:

x(p) = anpn + an-1pn-1 + …+ a1p + a0 = 0,

який можна одержати з ЛОДР шляхом заміни x(t) на одиницю, а її похідних - на pl, де l – порядок похідної.

Корені рк можуть бути дійсними, простими (чи різними) та кратними (чи однаковими).

Якщо корені р1, р2, . . ., рn прості, то ЛОРД має загальне рішення:


де n – порядок ДР; АК- постійна інтегрування.




Таким чином, загальне рішення НЛДР буде мати вигляд:

Необхідно помітити, що у загальному випадку при будь-якому діянні (джерела) часткове рішення може визначатися різними способами (методом варіації будь-якої постійної, діленням змінних, методом ламаних Ейлера, операційним методом)

Враховуючи те, що кожне ДР має нескінченну множину рішень, то для виділення з цієї множини одного рішення задають початкові умови:


Знаючи початкові умови, визначають постійні інтегрування з загального рішення ДР.

В ОТКС початкові умови визначають з аналізу схеми, опираючись на закони комутації, які розглянемо наступним питанням.

Висновок: основою класичного методу аналізу електричних кіл є складання диференційного рівняння, виходячи з його схеми та знаходження рішення в вигляді вільної та примусової складових.


  1. ^ Закони комутації. Початкові умови та початкові значення.


Початковими умовами (ПУ) називають значення струмів у гілках з L та напруг на С до комутації, тобто в момент часу t=-0. Якщо до комутації запас енергії в усіх накопичувальних елементах (L, С) кола дорівнює нулю, то ПУ називаються нульовими, інакше – ненульовими, ПУ позначаються :
i (-0) та U (-0)
Початковими значеннями (ПЗ) називаються значення усіх струмів, напруг та (n-1) їх похідних після комутації, тобто при t=+0.

^ ПЗ поділяють на залежні та незалежні.

Незалежними є значення i (+0) та U (+0) та (n-1) їх похідні, а залежними – значення усіх інших величин при t=+0 та (n-1) їх похідних.
Якщо з аналізу схеми кола визначені ПУ, то для визначення ПЗ користуються законами комутації, які встановлюють безперервність струму в індуктивності та напруги на ємності навколо моменту комутації (рис.3)

Рис. 3
Як було з’ясовано раніше, причиною наявності перехідних процесів в ЕК накопичувальними елементами (L та C) є неможливість скачкоподібної зміни енергії, накопиченої в магнітному та електричному полях на цих елементах.

Плавність її зміни витікає з принципу безперервності в часі і диференцируємості потокосцеплення індуктивності (t) і електричного заряду ємності q(t).

Припустимо, що потокосцеплення індуктивності (t) змінюється в часі скачкоподібно. Тоді відповідно до закону Ленца е.р.с., визначаєма за формулою



і напруга на індуктивності були б нескінченно великими ( = ), що не має фізичного змісту, тому що напруга на ділянці кола є кінцевою. Звідки слідує, що (+0)=(-0), а оскільки (t)=LiL­(t), то при L=const струм , що протікає через індуктивність не може змінюватись скачком.

На основі цього сформулюємо І закон комутації:

^ Величина струму в індуктивності безпосередньо після комутації дорівнює величині струму в індуктивності до комутації та в подальшому змінюється від цього значення:

іL(+0) = іL(-0)

Для деякого кола, що складається з послідовного включення опору та індуктивності:



Рис. 4
Аналогічно до доказу І закону доводиться ІІ закон комутації.

Неможливість скачкоподібної зміни електричного заряду на ємності витікає з того, що в протилежному випадку через ємність протікав би нескінченно великий струм:

,

що також не має фізичного змісту.

Звідси витікає, що q(+0)=q(-0). В зв’ язку з тим, що q(t)=CUC­(t), то при C=const напруга на ємності не може змінюватись скачком .

Таким чином отримаємо ІІ закон комутації:

Напруга на ємності безпосередньо після комутації дорівнює напрузі на ємності до комутації і в подальшому змінюється від цього значення:
UС(+0) = UС (-0)

Для кола з послідовним з’єднанням опору та ємності:



Рис. 5

Таким чином, на накопичувальних елементах кола (L, С) величини, які визначають запас енергії W не можуть змінюватись скачком, а величини, які не визначають запас W, можуть змінюватись скачком.

Отже, визначивши з аналізу схеми в докомутаційному режимі ПУ, можна отримати ПЗ (іL(+0), UС(+0) та (n-1) їх похідні, використовуючи закони комутації.

Аналізуючи схему заміщення при t=+0 (післякомутаційний режим) та ивкористовуючи закони Ома та Кірхгофа, визначають залежні початкові значення. Після цього визначається примусова складова.

Таким чином для аналізу ПП у лінійних електричних колах необхідно:

  1. На основі законів Кірхгофа, чи витікаючих з них методів розрахунку кіл, скласти ДР.

  2. Записати загальне рішення ДР у вигляді



  1. Визначити примусову складову методами розрахунку кіл у сталому режимі.

  2. Скласти характеристичне рівняння та визначити його корені.

  3. Записати ПУ.

  4. Скласти систему рівнянь для визначення постійної інтегрування АК.

  5. Підставити отриманні значення АК, рК, хпр (t) у загальне рішення та отримати величину вихідного діяння х(t).


ВИСНОВОК: Аналіз та розрахунок ПП у електричних колах класичним методом зводиться до рішення двох задач:

  1. Електрична (аналіз заданого кола);

  2. Математична (складання та рішення ДР).

Розглянемо приклад складання та рішення ДР.


  1. Складання та рішення диференційних рівнянь лінійних електричних кіл.


При складанні ДР відносно шуканої величини зручно використовувати інтегро-диференційні зв’язки між миттєвими значеннями струмів та напруг на окремих елементах кола (табл.1) та закони Кірхгофа.

Таблиця 1

Елемент кола

Зв’язок поміж струмом та напругою елементів




;














  1. Закон Кірхгофа: Алгебраїчна сума струмів у вузлі дорівнює нулю.




І1 - І2 – І3 – І4 = 0



  1. Закон Кіргофа: Алгебраїчна сума ЕРС, діюча в будь-якому контурі довільного розгалуженого електричного кола, дорівнює алгебраїчній сумі падінь напруги на усіх активних опорах цього контуру.



Метод накладання ДР:

  1. Скласти на основі законів Кірхгофа систему (одне рівняння) для миттєвих значень у післякомутаційному режимі.

  2. Використовуючи інтегро-диференційний зв’язок (табл. 1) між миттєвими значеннями струмів та напруг, виразити усі функції через шукану.

Перетворення вести до отримання одного рівняння з одним невідомим.
Приклад: Скласти ДР для знаходження закону зміни струму в колі І порядку (рис.4) при підключенні до джерела постійної напруги.

  1. За другим законом Кірхгофа для післякомутаційного кола маємо

UR(t) +UL(t) = U01(t)




і(t)-?

Рис. 4
Від рівняння (14 ) переходимо до ДР відносно струму і(t), використовуючи дані табл.1


звідси - ЛНДР
Таким чином, отримали ДР І порядку, так як коло утримує тільки один накопичувальний елемент.

  1. Рішення ДР має вигляд:


і(t) = івіл (t) + іпр(t) = А1
3.

4. складемо характеристичний многочлен

P1 + R/L = 0, корінь якого дорівнює

P1 = -R/L = -1/К, де К – постійна часу кола.

Отже: .

5. Використовуючи ПУ (вони нульові) визначаємо постійну інтегрування

іL(-0) = іL(+0)=0
6. і(+0) = = А1+U0/R = 0  А1=-U0/R
7. Отримаємо .

.
Аналізуючи (18), будуємо графіки (рис. 5)
UL(t) = i(t)R= U0 (1- )





Рис.5

Висновок:

  1. В момент підключення постійної напруги до кола RL струм у колі зберігає те значення,яке він мав до комутації.

  2. За час, який дорівнює 5К, струм збільшується за експоненційним законом і досягає значення U0/R.




  1. ^ ВІЛЬНІ НАПРУГИ ТА СТРУМИ У НЕРОЗГАЛУЖЕНИХ КОЛАХ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ.


Відомо, що коло першого порядку при відсутності зовнішнього діяння описується рівнянням вигляду:

, тобто однорідним ДР.

Будемо шукати рішення у вигляді

х(t) = хвіл(t), так як хпр(t) = 0.

Таким чином, вільні напруги та струми в колах RC (RL) виникають за рахунок енергії, яка раніше була накопичена в електричному колі конденсатора чи магнітному полі індуктивності.
Процеси, які існують в електричному колі за рахунок запасу енергії в енергоємних елементах після відключення кола від джерела енергії, називаються вільними процесами.

Розглянемо вільні процеси в колі RC (рис.5)

Рис.5
Попередньо заряджена ємність до UСО після комутації розряджається на R.

В ємності була запасена енергія

.

У колі за рахунок проходження струму розряду ємності будуть відбуватися незворотні теплові процеси на R до тих пір, поки енегрія, яка запасена, не стане дорівнювати 0. Новий сталий стан буде характеризуватися UС = 0, і = 0.

1. Для запису рівняння рівноваги кола введемо позитивний напрямок струму та напруги.

Ri(t) + UC(t) = 0.

Запишемо ДР

UC(t) +1/(RC)  UC(t) = 0.
2. UC(t) =


  1. UCпр(t) = 0




  1. Р = - (1/ RС) = -1/К




  1. В зв’язку з тим, що ПУ ненульові, то:

UС(+0) = UС(-0) = UСО


  1. UCО =


7. UC(t) = UCО
Отже очевидн, що UC зменшується за експоненційним законом (рис.6)

і(t) = СUC(t) =

Струм у колі також зменшується за експоненційним законом. Знак “мінус” свідчить про те, що обраний0 напрямок струму та його дійсне напрямок не співпадають. (Зроблено це навмисно).



Рис.6


Постійна часу кола та тривалість перехідного процесу.





При рішенні характеристичного многочлена введено поняття постійної часу кола.

Ця характеристика залежить від схеми кола та параметрів її елементів. Вона характеризує швидкість протягу перехідних процесів у колах першого порядку. Постійна часу ( = RC в колах RC, К = L/R в колах RL ) вимірюється в секундах. Суть її полягає в наступному:

Нехай від моменту комутації пройшов час t = К. Через цей відрізок часу, наприклад, напруга на опорі буде мати значення

.

Такий результат можна отримати при будь-якій величині, що зменшується в перехідному режимі в колі першого порядку.

Таким чином постійна часу є величина, яка дорівнює проміжку час, в ході якого вільна складова струму чи напруги зменшується в е разів. Перехідний процес нескінчений.

Виникає необхідність встановити практичну тривалість перехідного процесу.

Таблиця 1.

t

К

2К

3К

4К

5К

х0

0,368 х0

0,135 х0

0,05 х0

0,017 х0

0,007 х0



За складеною таблицею1 бачимо, що за t = 5К величина, яка описує вільний процес приймає значення 0,7% початкового. Це вважається достатнім для встановленого процесу.

Таким чином, час вільних процесів вважається рівним 5К.

Назвемо часом вільного процесу t­віл час, за який вільна складова процесу зменшується в n разів порівняно з початковим значенням.



хвіл (t) = х0




За визначенням х0/n = х0 , звідси

tвіл = К ln n, якщо n взяти рівним 100, то

tвіл = К ln 100 = К2,3 lg100 = 4,6 К.

К можна визначити експериментально за осцилограмою процесу.

Припустимо, деяка величина, яка змінюється за законом
хвіл (t) = х0

спостерігається на екрані осцилографа (рис.7)



Рис. 7
Якщо провести дотичну в точці х0, то отримаємо піддотичну до кривої пере-хідного процесу К можна знайти відразу за даними осцилографа, використо-вуючи можливість вимірювання тривалості. Більш точніше за показаннями осцилографа К можна знайти розрахунковим методом.

хвіл (t) = х0

Візьмемо похідну та знайдемо її значення в момент часу t = +0.
.


При обчисленні постійної часу кола величину R необхідно виразити в Омах, ємність у Фарадах, індуктивність – у Генрі. Якщо коло має декілька опорів, то для визначення К необхідно брати величину Rекв.

Його величину визначати таким чином:

  • умовно замкнути накоротко джерело напруги;

  • усі опори, які будуть підключені до затискачів енергоємного елементу, будуть визначати еквівалентний опір.

Якщо до кола підключити джерело струму, то вхідні затискачі для підра-хунку Rекв треба брати розімкнутими.
ВИСНОВОК:

Таким чином, постійна часу кола визначає швидкість вільних процесів у ко-лі першого порядку. Для кіл другого порядку та вище, коли вільні процеси не періодичні, а коливальні вводять ще інші параметри для більш повної характеристики вільного процесу, про що буде сказано нижче.

Схожі:

Лекція №15: аналіз процесів в ек першого порядку класичним часовим методом iconВопросы к экзамену по курсу «Дифференциальные уравнения»
Звичайні диференціальні рівняння. Загальні поняття. Задача Коші. Ізокліни. Диференціальні рівняння першого порядку. Загальний інтеграл...
Лекція №15: аналіз процесів в ек першого порядку класичним часовим методом iconТема: „лінійна алгебра” (2 бала)
Обчислити визначники. Визначник б обчислити 3 способами: методом Саррюса, методом діагоналей, методом розкладання за елеменетами...
Лекція №15: аналіз процесів в ек першого порядку класичним часовим методом iconЛекція 2 17 лекція 31 тема 4 обґрунтування господарських рішень та оцінювання їх ефективності 49
Вивчення дисципліни передбачає наявність знань з наступних дисциплін: «Теорія ймовірностей та математична статистика», «Теорія статистики»,...
Лекція №15: аналіз процесів в ек першого порядку класичним часовим методом iconЛекція 23 аналіз зовнішньоекономічної діяльності авіапідприємства
Аналіз забезпеченості матеріальними ресурсами та оцінка ефективності їх використання
Лекція №15: аналіз процесів в ек першого порядку класичним часовим методом iconВизначники першого, другого та третього порядку
Означення: Матрицею називається прямокутна таблиця чисел, яка має m рядків І n стовпчиків. Їх позначають великими літерами A,B,c...
Лекція №15: аналіз процесів в ек першого порядку класичним часовим методом iconПрямі (безпосередні) та непрямі (опосередковані)
Така робота є ефективним методом поглиблення теоретичних знань з фізики, розуміння фізичних процесів, підготовкою до вивчення спеціальних...
Лекція №15: аналіз процесів в ек першого порядку класичним часовим методом iconЛекція 26 аналіз зовнішньоекономічної діяльності авіапідприємства
Вплив асортиментної політики на формування прибутку та аналіз рівня середньо реалізаційних цін
Лекція №15: аналіз процесів в ек першого порядку класичним часовим методом iconЛекція 27 аналіз зовнішньоекономічної діяльності підприємства
Аналіз відповідності трансформації оборотних активів у готівку та термінів погашення кредиторської заборгованості
Лекція №15: аналіз процесів в ек першого порядку класичним часовим методом iconТеоретичні питання до другого колоквіуму
Означення др першого порядку. Сформулювати задачу Коші. Означення загального та частинного розв'язків
Лекція №15: аналіз процесів в ек першого порядку класичним часовим методом icon4. Позначення норм точності І шорсткості поверхонь на кресленнях
Представлений розрахунок І вибір посадок для нерухомого з‘єднання, підшипників ко­чення. Розраховано розмірний ланцюг методом повної...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Школьные материалы


База даних захищена авторським правом © 2015
звернутися до адміністрації
skaz.com.ua
Головна сторінка