Лекція Математичні поняття




НазваЛекція Математичні поняття
Сторінка1/8
Дата конвертації03.07.2013
Розмір0.59 Mb.
ТипЛекція
skaz.com.ua > Математика > Лекція
  1   2   3   4   5   6   7   8
Лекція 1. Математичні поняття.

Мета:

Основні питання:

  1. Вступ.

  2. Об‘єм і зміст поняття.

  3. Означення понять.

  4. Вимоги до означення понять.

    1. Вступ. Математика, як і інші науки, вивчає навколишнє середовище, природні та суспільні явища, але вивчає лише їх з особливого боку. Наприклад, в геометрії вивчають форму і розміри предметів, не враховуючи інші властивості: колір, масу і т.д. тому в геометрії замість слова «предмет» кажуть: «геометрична фігура». Відрізок, промінь, пряма, кут, коло, квадрат – геометричні фігури. Результатом абстрагування являються також найважливіші математичні поняття, як «число» і «величина». Взагалі будь-які математичні об‘єкти – це результат відокремлення з предметів і явищ навколишнього середовища кількісних і просторових властивостей і відношень і абстрагування їх від всіх інших властивостей. Як сказав Ф. Енгельс: «математика – це наука про кількісні форми і просторові уявлення реального світу». Математичні об‘єкти реально не існують, не існує в навколишньому світі геометричних фігур, чисел. Всі вони утворені людьми в процесі історичного розвитку суспільства і існує лише в розумінні людини і в тих знаках і символах, які утворюють математичну мову.

    2. Об‘єм і зміст поняття. Будь – який математичний об‘єкт має певні властивості. Наприклад, квадрат має чотири сторони, чотири прямих кута, рівні діагоналі. Можна вказати і інші властивості квадрата. Серед властивостей об‘єкта розрізнюють властивості суттєві і несуттєві для його виділення з інших об‘єктів. Властивість вважають суттєвою для об‘єкта, якщо вона притаманна цьому об‘єкту і без нього він не може існувати. Несуттєвими властивостями вважають такі, відсутність яких не впливає на існування об‘єкта. Щоб розуміти, що представляє собою даний об‘єкт достатньо знати його суттєві властивості. В цьому випадку кажуть, що мають поняття про цей об‘єкт. Сукупність всіх взаємозв’язаних суттєвих властивостей об‘єкта називають змістом поняття про цей об‘єкт. Об‘єм поняття – це сукупність всіх об‘єктів, які позначені одним терміном. Таким чином, всяке поняття характеризується терміном, об‘ємом і змістом. Між об‘ємом поняття і його змістом існує зв‘язок: чим «більше» об‘єм поняття, тим «менше»його зміст, і навпаки. Наприклад, об‘єм поняття «прямокутний трикутник» «менше» об’єму поняття «трикутник», оскільки в об‘єм першого поняття входять не всі трикутники, а тільки прямокутні. Але зміст першого поняття «більше» змісту другого: прямокутний трикутник має не лише всі властивості трикутника, але і іншими, які притаманні тільки прямокутним трикутникам.

    3. Означення понять. Зміст поняття о будь-яком математичному об‘єкті містить багато різних суттєвих властивостей цього об‘єкта. Але щоб встановити, чи міститься об‘єкт в об‘ємі даного поняття (тобто разпознати його), необхідно перевірити наявність у нього лише деяких суттєвих властивостей. Встановлення цих суттєвих властивостей об‘єкта, яких достатньо для распознавння об‘єкта, називається означенням поняття про цей об‘єкт. Взагалі, означення – це логічна операція, яка розкриває зміст поняття. Способи означення поняття є різні. Перед усім розрізняють явні і неявні означення. Явні поняття мають форму рівності, спів падіння двох понять, або ототожнюються два поняття. Одне з них називають визначним поняттям, друге – визначальним. Через визначальне розкривається зміст визначного поняття. Проаналізуємо, наприклад, структуру означення квадрата: «Квадратом називається прямокутник, у якого всі сторони рівні». Вона є такою: спочатку вказане визначне поняття – «квадрат», а потім приведене визначальне, яке включає властивості: бути прямокутником, мати всі рівні сторони. Властивість «бути прямокутником» показує, що всі квадрати являються прямокутниками, тобто поняття прямокутник являється більш загальним, ніж поняття квадрат. Його називають родовим по відношенню до визначного поняття «квадрат». Друга властивість – «мати рівні сторони» - це виділення видової властивості, яка відокремлює квадрат від інших видів прямокутника. Схематично структуру таких означень можна представити наступним чином: МАЛЮНОК. Неявні означення не мають форми спів падіння двох понять. Прикладами таких означень являються так звані контекстуальні і остенсивні означення. В контекстуальних означеннях зміст нового поняття розкривається через уривок тексту, через контекст, через аналіз конкретної ситуації, яка описує зміст нового поняття. Прикладом такого означення може бути означення рівняння і його розв‘язок. Остенсивні означення використовують для введення термінів шляхом демонстрації об‘єктів, які цими термінами позначають. Тому остенсивні означення називають ще означеннями шляхом показу. Зустрічаються в математиці і означення, побудовані по іншому. Наприклад, означення трикутника: «Трикутником називається фігура, яка складається з трьох точок. Які не лежать на одній прямій, і трьох відрізків, які попарно з‘єднують ці точки». В цьому означенні вказане родове поняття по відношенню до трикутника – фігура, а потім вказаний спосіб побудови такої фігури, такі означення називають генетичними. Розглянемо означення арифметичної прогресії: «Арифметичною прогресією називається числова послідовність, кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому, доданого з одним числом». Тут визначне поняття – «арифметична прогресія», родове поняття – «числова послідовність», а далі описується спосіб отримання всіх членів прогресії по заданій формулі. Таке означення називають індуктивним (рекурентним).

    4. Вимоги до означень. Щоб оцінити правильність явних означень, необхідно знати правила означення понять.1) Перш за все визначне і визначальне поняття повинні бути еквівалентні (сорозмірні). Це означає, що сукупність предметів, які є охоплені ними, мають співпадати. Наприклад, правильним є означення: «прямокутник – це чотирикутник, у якого всі кути прямі». Неправильним означенням є таке:»Прямі називаються паралельними, якщо вони не мають спільних точок або співпадають» (занадто широко, тому що йому задовольняють і мимобіжні прямі). Або невірним є: «прямі називаються паралельними, якщо вони не мають спільних точок» (занадто вузько, тому що йому не задовольняють прямі, які співпадають). 2) Друге правило означення забороняє порочний круг: не можна визначати поняття через само себе або визначати його через інше поняття, яке, в свою чергу, визначається через нього. Наприклад, множенням називається дія, за допомогою якої знаходять добуток цих чисел – неправильне означення. 3) В означенні мають бути вказані всі властивості, які дозволяють однозначно виділити об‘єкти, що належать об‘єму визначального поняття. Наприклад, «Суміжними кутами називаються кути, які в сумі складають » (недостатньо властивостей). 4) Ще одне правило до означення – відсутність в ньому збитку. Це позначає, що в означенні не повинно бути вказано зайвих властивостей, які випливають з інших властивостей, також включених в означення поняття. Наприклад, «прямокутником називається чотирикутник, у якого всі сторони рівні і всі кути прямі».це означення має зайву властивість, краще сказати так: «Прямокутником називається чотирикутник, у якого всі кути прямі». Треба сказати, що в будь-якому означенні є елемент довільності, що проявляється, по-перше, в виборі терміна, а по-друге, в виборі властивостей, які включаються в означення. Якщо одному поняття дається два різних означення, то вони повинні бути рівносильними. Це позначає, що з властивостей, що включені в одне означення, мають випливати властивості, покладені в основу другого означення, і навпаки. При виборі означення користуються тим, яке означення простіше, натуральніше або корисніше для подальшої побудови теорії.


Лекція 2. Математичні твердження.

Мета:

Основні питання:

  1. Елементарні і складові твердження.

  2. Висловлення.

  3. Висловлювані форми.

  4. Квантори.

  5. Правила побудови заперечень висловів, які містять квантори.

  1. Елементарні і складові твердження. В пізнанні оточуючого світу, людина встановлює різноманітні зв‘язки між об‘єктами, між об‘єктами і їх властивостями та ін. кожне математичне речення характеризується змістом і логічною структурою. Розглянемо уважніше структуру тверджень. В математиці розрізнюють елементарні і складові твердження. Твердження «число 28 ділиться на 7» є елементарним. Складовими твердженнями являються, наприклад, наступні: «число 28 парне і ділиться на 7», «число 5 менше або дорівнює 8», «якщо трикутник рівнобедрений, то кути в ньому при основі рівні», «число 14 не ділиться на 4». Складові твердження утворюються з елементарних за допомогою слів «і», «або», частки «не», «якщо, то». Ці слова в математиці називають логічними зв‘язками. Виявити логічну структуру складового твердження – значить встановити: 1) з яких елементарних тверджень утворено складове твердження, 2) за допомогою яких логічних зв‘язок воно утворене. (розглянути приклади, які наведені раніше).

  2. Висловлення. Серед суджень, які встановлюють різноманітні відношення між математичними поняттями, вислови і висловлювані форми. Висловом називається твердження, відносно якого має сенс питання, істинно воно чи хибне. Наприклад, «число 6 парне» є істинним висловом, а «2+4=9» - хибним. Кожному вислову приписують одне з двох значень: І(істина), якщо воно істинне, і Х(хибність), якщо воно хибне. Значення І і Х називають значеннями істинності висловлення. Якщо висловлення елементарне, то його значення істинності визначають по змісту, спираючись на відомі факти. В складових висловленнях на допомогу приходить форма висловлення. Вважають, що вислів виду «А і В» істинний, якщо істинні обидва вислови А і В. якщо хоча б одне з них є хибним, то вислів «А і В» є хибним. Висловлення виду «А або В» вважають істинним, якщо істинний хоча б один з висловів А і В. Висловлення «А або В» хибне, коли хибні обидва вислови А і В. Часто в математиці приходиться будувати висловлення, в яких щось заперечується. Заперечення вислову позначається і читають «не А» або «невірно, що А». Взагалі запереченням вислову А вважається істинним, коли вислів А хибний, і «не А» є хибним, коли А істинний. ТАБЛИЦЯ.

  3. Висловлювані форми. В математиці часто зустрічаються твердження, які містять одну або декілька змінних. Наприклад, . Ці твердження не являються висловами, так як відносно їх не має сенсу питання, істинні вони чи хибні. Але при підстановці значень змінних ці твердження перетворюються в вислови істинні або хибні. Твердження такого виду називають висловлюваними формами. Кожна висловлювана форма породжує вислів тієї ж форми. Наприклад, дозволяє отримати вислови . ^ Висловлювана форма – це твердження з однією або декількома змінними, яке обертається в висловлення при підстановці в нього конкретних значень змінних. Також як і висловлення, висловлювані форми бувають елементарними і складовими. Складові утворюються з елементарних за допомогою логічних зв‘язок «і», «або», «не» і т.д.

  4. Квантори. Про числа 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 можна сказати: всі подані числа однозначні і деякі з цих чисел є парними. Так як відносно цих тверджень можна сказати, що вони істинні чи хибні, то отримані твердження – висловлення. Слова «всі» і «деякі» називають кванторами. Слово квантор з латинського перекладається як «скільки», тобто квантор показує, о скількох (всіх або деяких) об‘єктах йдеться в твердженнях. Розрізняють квантори спільності і існування. Квантори спільності – це слова «будь-який», «всякий», «кожний», «всі». Квантори існування – це слова «існує», «деякі», «хоча б один». Таким чином, якщо перед висловлюваною формою поставити деякий квантор, то отримаємо вислів. Форму висловлення з квантором мають більшість математичних тверджень. Наприклад, всі квадрати являються прямокутниками; деякі парні числа діляться на 4; в будь-якому прямокутнику сума внутрішніх кутів дорівнює . Істинність висловів з кванторами спільності встановлюється шляхом доведення. Щоб впевнитися в хибності таких висловів, достатньо навести контр приклад. Наприклад, 1) Будь-яке число 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 являється розв‘язком нерівності (підставляючи всі значення в нерівність довели істинність вислову, а значить, за індукцією, будь-яке дійсне число задовольняє нерівності). 2) Сума будь-яких послідовних натуральних чисел ділиться на 3 (істинність доводиться безпосередньо). 3) будь-який прямокутник являється квадратом (достатньо накреслити прямокутник, який не являється квадратом і доведена хибність вислову – контр приклад). Істинність висловів з кванторами існування встановлюється за допомогою конкретного прикладу. Щоб впевнитися в хибності такого вислову, необхідно провести доведення. Наприклад, 1) існують натуральні числа, кратні 3 (6, 9, 12 і т.д.). 2) Існують прямокутні рівносторонні трикутники (є хибним, тому що в прямокутному трикутнику один кут обов‘язково прямий, а в рівносторонньому всі кути містять , значить, серед прямокутних трикутників рівносторонніх не існує).

  5. Правила побудови заперечень висловів, які містять квантори. Заперечення висловів з квантором (спільності або існування) може бути побудоване двома способами:

1) перед даним висловом ставляться слова «невірно що»; 2) квантор спільності (існування) замінюється квантором існування (спільності), а твердження, яке стояло після квантора, замінюється його запереченням. Сформульоване правило являється достатнім для правильної побудови заперечення висловів з квантором. Заперечення даного вислову може бути побудовано і в іншій формі. Важливо тільки не забути вимогу: якщо вислів хибний, то його заперечення повинно бути істинним, і навпаки. Наприклад, 1) «деякі непарні числа діляться на 4» - хибність, його заперечення: «невірно, що деякі числа діляться на 4», або «всі непарні числа не діляться на 4». 2) «всі натуральні числа діляться на 3» - хибність, його заперечення має вид: «невірно, що всі натуральні числа діляться на 3», або «існують натуральні числа, які не діляться на 3».
Лекція 3. Математичні доведення.

Мета:

Основні питання:

  1. Відношення рівнозначності між твердженнями.

  2. Необхідні і достатні умови.

  3. Структура і види теорем.

  4. Дедуктивні міркування.

  5. Найпростіші схеми дедуктивних міркувань.

  6. Неповна індукція.

  1. Відношення рівнозначності між твердженнями. Будь-яке міркування не обходиться без слів «випливає», «значить». Кажуть, що з твердження А випливає твердження В, якщо всякий раз, коли істинний вислів А, істинним є вислів В. наприклад, твердження «із того, що число а кратно 4, випливає, що воно кратно 2» можна сформулювати ще і так: всяке число, яке ділиться на 4, ділиться на 2, або якщо число ділиться на 4, то воно ділиться і на 2, число а ділиться на 4, значить воно ділиться на 2. Якщо із твердження А випливає твердження В, а із твердження В випливає твердження А, то кажуть, твердження А і В рівнозначні. Згідно цього означення твердження «трикутник «рівнобедрений» і «кути при основі трикутника рівні» є рівнозначними.




  2. В – необхідна умова для А

    А – достатня умова для В
    Необхідні і достатні умови. Якщо з твердження А випливає твердження В, то говорять, що В – необхідна умова для А, а А – достатня для В. іншими словами, вислів В називається необхідною умовою для А, якщо воно логічно випливає з А. вислів А називається достатньою умовою для В, якщо В з нього випливає. Якщо твердження А і В рівнозначні, то говорять, А – необхідна і достатня умова для В, і навпаки. Наприклад, в геометрії доведено, що з твердження «кути вертикальні» випливає твердження «кути рівні». тому згідно даному означенню можна сказати, що рівність кутів – необхідна умова для того, щоб кути були вертикальні, а вертикальність кутів є достатньою умовою для їх рівності. У зв‘язку з цим твердження «якщо кути вертикальні, то вони рівні» можна сформулювати інакше: для того, щоб кути були вертикальні, необхідно, щоб вони були рівні; для того, щоб кути були рівні, достатньо, щоб вони були вертикальні.

  3. Структура і види теорем. Раніше було відокремлено, що суттєві властивості об‘єкта утворюють зміст поняття про цей об‘єкт. Частина цих властивостей включається в означення поняття. Щоб мати більш повне уявлення про об‘єкт, вивчають і інші його властивості. Властивості основних (первісних) понять розкривається в аксіомах – твердженнях, які приймаються без доведення. Наприклад, властивості основних понять геометрії: точка, пряма, площини включені в аксіоми. Взагалі система аксіом будь-якої теорії, розкриваючи властивості основних понять, дає, по суті, їх означення, які називаються аксіоматичними. Властивості, які доводяться, найчастіше називають теоремами, іноді слідствами, признаками. В алгебрі – формулами, тотожностями, правилами. Тому, теорема – це висловлення про те, що з властивості А випливає властивість В. істинність цього вислову встановлюється шляхом доведення. В якому б виді не була сформульована теорема, в ній завжди виділяється умова А(що задано) і висновок В (що треба довести). Теореми і називаються оберненими одна до іншої, а теореми і називаються протилежними. Наприклад, для теореми «якщо кути вертикальні, то вони рівні» оберненою є «якщо кути рівні, то вони вертикальні», що являється хибність. Протилежною до заданої є «якщо кути не являються вертикальними, то вони не рівні» також є хибність. А ось обернена до протилежної «якщо кути не рівні, то вони не вертикальні» являється істиною. Встановлено, теореми і рівнозначні. Це називається законом контра позиції. Якщо задана теорема і і їй обернена являються вірними, то їх можна об‘єднати в одну за допомогою слів «тоді і тільки тоді» або «необхідно і достатньо».

  4. Дедуктивні міркування. Довести теорему - значить встановити логічним шляхом, що завжди, коли виконується властивість А, буде виконуватись і властивість В. доведення в математиці обладає рядом особливостей. Часто воно проводиться за правилами логіки без яких-то посилань на наглядність і дослід. В основі доведення лежить міркування – логічна операція, в результаті якої із одного чи декількох взаємозв‘язаних по змісту тверджень отримаємо твердження, яке містить нові (по відношенню до заданих) знання. В якості приклада розглянемо міркування першокласника, якому необхідно встановити відношення «менше» між числами 7 і 8. учень говорить: «, тому що 7 при рахунку називають раніше, ніж 8». На які ж факти він опирався, стверджуючи це. По-перше, якщо число а при рахунку називають раніше числа в, то для будь-яких натуральних чисел. І по-друге, 7 при рахунку називають раніше, ніж 8. перше твердження носить загальний характер, так як містить квантор спільності, його називають загальною посилкою. Друге твердження стосується конкретних чисел 7 і 8, відображає частинний випадок, його називають частковою посилкою. З двох посилок і випливає новий факт , його називають висновком. Міркування, між посилками і висновком якого має місце відношення слідування, називають дедуктивним. Іншими словами, міркування є дедуктивним, якщо за допомогою його з істинних посилок не можна отримати хибний висновок. Інакше міркування не являється дедуктивним.

  5. Найпростіші схеми дедуктивних міркувань. Вважають, що в основі кожного дедуктивного міркування лежить певне правило висновку. 1) Правило висновку ( і , де - загальна посилка, - часткова посилка і - висновок. 2) Правило заперечення . 3) Правило силогізму . Застосування цих правил гарантує, що міркування буде дедуктивним, тобто дозволяє з істинних посилок виводити істинні висновки. Наприклад, 1) Всі числа, запис яких закінчується нулем, діляться на 5; число не ділиться на 5, значить, його запис не закінчується 0. 2) Якщо натуральне число кратне 8, то воно кратне 4; якщо натуральне число кратне 4, то воно кратне 2; значить, якщо число кратне 8, то воно кратне 2. 3) Якщо запис числа закінчується нулем, то воно ділиться на 5; число не закінчується нулем, значить, воно не ділиться на 5.

  6. Неповна індукція. Відомо, що 15 ділиться на 5, 25 ділиться на 5, 35 і 95 діляться на 5. враховуючи це, робимо висновок, що будь-яке число, запис якого закінчується цифрою 5, ділиться на 5. В розглянутому міркуванні на основі ряду часткових випадків робимо висновок загальний. Такі міркування називають неповною індукцією. Неповна індукція представляє собою таке міркування, при якому на основі того, що деякі об‘єкти сукупності мають певні властивості, робиться висновок про те, що ці властивості притаманні всім об‘єктам цієї сукупності. Висновки, отримані при неповній індукції, можуть бути як істинними, так і хибними. Так висновок про те, що кожне число, запис якого закінчується цифрою 5, ділиться на 5, істинний. А твердження «при будь-якому натуральному числі значення виразу є просте число» хибне. Дійсно, якщо , то отримаємо значення , тобто даний вираз є складовим числом. До висновків, отриманих за допомогою неповної індукції, треба відноситись критично. Ці висновки носять характер гіпотези, догадки, яку слідує або довести (дедуктивним методом), або спростити. Таким чином, в процесі пізнань дедуктивні і індуктивні міркування виявляються взаємозв‘язаними. При тому що індуктивні міркування не завжди приводять до правильних висновків, роль їх в вивченні математики і інших науках дуже велика. В ході індуктивних міркувань формується вміння бачити загальне в конкретних, часткових випадках, висловлювати догадки.

  1   2   3   4   5   6   7   8

Схожі:

Лекція Математичні поняття iconТема Основні поняття інформатики (4 год.)
Математичні основи інформатики. Кодування інформації. Загальні відомості про системи числення
Лекція Математичні поняття iconЛекція Тема Поняття І сутність менеджменту
Для позначення діяльності з координації роботи людей на практиці використовують різні поняття
Лекція Математичні поняття iconБудується за певними правилами з математичних знаків, що становить її
Математична мова будується за певними правилами з математичних знаків, що становить її алфавіт. Семіотика — наука про знакові системи....
Лекція Математичні поняття iconЛекція 7 алгоритми. Типи алгоритмів. Способи опису алгоритмів
Поняття алгоритму таке ж основоположне для інформатики, як І поняття інформації. Саме тому важливо в нім розібратися
Лекція Математичні поняття icon1. Сутність, завдання, предмет економічного аналізу
Математичні моделі. Прийоми побудови детермінованих факторних моделей (подовження, розширення, скорочення)
Лекція Математичні поняття iconТаблиці та діаграми в текстовому документі. Математичні формули. План
Тхір І. Л., Калушка В. П., Юзьків А. В. Посібник користувача пк. Тернопіль, „Підручники І посібники”, 2006р
Лекція Математичні поняття icon«Математичні осфнови естетики Ренесансу». Педагогічну пра­цю М. Рудницька...
Відні. Отримала диплом учителя середніх шкіл, захистила докторат із філософії на тему «Математичні осфнови естетики Ренесансу». Педагогічну...
Лекція Математичні поняття iconКримінальне право України. Особлива частина Лекція Поняття Особливої...
Лекція Поняття Особливої частини кримінального права України, її значення І система
Лекція Математичні поняття iconМатематичні задачі електроенергетики. Лабораторний практикум
Рекомендовано до друку Методичною радою Вінницького національного технічного університету Міністерства освіти І науки, молоді та...
Лекція Математичні поняття iconЛекція 3 поняття, сутність та походження права
Мета: розкрити поняття права, його ознаки, принципи права та функції права, проаналізувати місце норм права в систе­мі соціальних...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Школьные материалы


База даних захищена авторським правом © 2015
звернутися до адміністрації
skaz.com.ua
Головна сторінка