«Лінійна та векторна алгебра аналітична геометрія» Методичні вказівки та контрольні завдання для студентів




Скачати 300.57 Kb.
Назва«Лінійна та векторна алгебра аналітична геометрія» Методичні вказівки та контрольні завдання для студентів
Дата конвертації26.06.2013
Розмір300.57 Kb.
ТипДокументы
skaz.com.ua > Математика > Документы

  • Міністерство освіти і науки України

  • Одеський національний політехнічний університет

  • Херсонський політехнічний коледж



  • Вища математика

  • «Лінійна ТА ВЕКТОРНА алгебра. аналітична геометрія»

  • Методичні вказівки та контрольні завдання для студентів

  • заочного відділення, спеціальності 5.05010301

  • «Розробка програмного забезпечення»


Затверджено методичною радою ХПТК ОНПУ

Протокол №____ від _____________20__ р.


  1. Херсон 2009


Методичні вказівки та контрольні завдання «Лінійна та векторна алгебра. Аналітична геометрія» для студентів заочного відділення з дисципліни «Вища математика» / Укладач: С. В. Рослякова – Херсон: ХПТК ОНПУ, 2009. – 40 с.

Навчальне видання
  • ^

    Вища математика

  • «Лінійна ТА ВЕКТОРНА алгебра. аналітична геометрія»

  • Методичні вказівки та контрольні завдання для студентів

  • заочного відділення, спеціальності 5.05010301

  • «Розробка програмного забезпечення»




Укладач С. В. Рослякова, методист, викладач вищої категорії, голова циклової комісії математики.
Відповідальний Н. М. Чорна, викладач вищої категорії, методист,

редактор заступник директора з навчально-методичної роботи.
Технічний Л. М. Білоусова, викладач вищої категорії, завідуючий

редактор лабораторії курсового та дипломного проектування
Коректор Т. О. Куцак, викладач-методист гуманітарних дисциплін
Рецензент Д. В. Буряк, канд. фіз.-мат. наук, доцент кафедри вищої математики та комп’ютерного моделювання Одеського національного політехнічного університету

  • ^

    Зміст



  • Вступ


Мета даних методичних вказівок – допомогти студентам правильно організувати самостійну роботу з вивчення курсу лінійної та векторної алгебри й аналітичної геометрії.

Основна форма навчальних занять студентів-заочників - самостійна робота над навчальним матеріалом: вивчення матеріалу по підручниках, розв’язування задач, самоперевірка і виконання контрольних робіт.

Один із кращих методів засвоєння, перевірки і закріплення теоретичного матеріалу – розв’язування задач. У даних методичних вказівках приведена мінімальна кількість задач, які необхідно розв’язати після вивчення кожної теми.

При розв’язуванні кожної задачі варто продумати план розв’язання і чітко обґрунтувати всі його етапи виходячи з теоретичних положень курсу. Якщо задача складна, потрібно повторити відповідний теоретичний матеріал і самостійно розв’язати задачі, розв’язок яких приведені в підручнику і даній роботі.

Розв’язування задачі докладно записують у робочому зошиті. Доцільно вирішити задачу й інший спосіб з метою перевірки відповіді.

Вирішувати задачі певного типу необхідно доти, поки не будуть вироблені тверді навички їхнього рішення.

Даний методичний посібник містить зразки вирішень типових задач і контрольні завдання по темах:

  • “Визначники і матриці”

  • “Системи лінійних алгебраїчних рівнянь”

  • “Вектори на площині та у просторі”

  • “Рівняння прямої та площини у просторі”.

Якщо при вивченні теоретичного матеріалу, рішенні задач, чи самоперевірці при виконанні контрольної роботи в студента виникають які-небудь труднощі, він може звернутися до викладача для одержання усної консультації.

По закінченні вивчення курсу лінійної алгебри й аналітичної геометрії студент повинен виконати контрольну роботу.

Кожну контрольну роботу виконують в окремому зошиті в клітку чорнилом будь-якого кольору, крім червоного. У зошиту залишають поле для зауважень рецензента. Наприкінці зошита залишають трохи чистих аркушів для доповнень і виправлень відповідно до зауважень рецензента.

Роботу, виконану не за правилами, не зараховують і повертають студенту для доробки.

Прорецензовані контрольні роботи варто зберігати для пред'явлення їх на іспиті.
  • ^

    1. Тема “Визначники і матриці”

  • Теоретичні питання


  1. Матриці. Дії над матрицями.

  2. Обернена матриця. Розв’язування простіших матричних рівнянь.

  3. Трикутні матриці та їхні властивості. Ранг матриці та методи його обчислення.

  4. Визначник другого і третього порядків та їх властивості. Визначники n-го порядку. Обчислення визначників.



  1. ^

    Розв’язування типового варіанта


  1. Виконати дії над матрицями.

Дано:

,

Знайти:















  1. Обчислення визначників другого і третього порядків.

Квадратній матриці можна поставити число яке називають визначником.

Визначником другого порядку називається число яке визначається рівністю (1.1).

(1.1)

Наприклад:



Визначником третього порядку називається число яке визначається рівністю (1.2)

(1.2)

Наприклад:



  1. Задане матричне рівняння розв’язати за допомогою оберненої матриці:



Матричне рівняння: , де , має розв’язок:

, якщо



Знаходимо матрицю .

Визначник матриці A: .

Оскільки , матриця має обернену матрицю .

Обчислюємо алгебраїчні доповнення елементів матриці :

, ,

, ,

, ,

Одержуємо обернену матрицю : .

Бажано зробити перевірку .





Обернена матриця знайдена вірно.

Тепер знаходимо розв’язок матричного рівняння:



Перевіряємо: .
  1. ^

    1.1 Варіанти завдань до теми «Визначники і матриці»


Задача №1. Виконати дії над матрицями (див. свій варіант):

1Дано: Знайти: 2Дано: Знайти: 3Дано: Знайти: 4Дано: Знайти: 5Дано: Знайти: 6Дано: Знайти: 7Дано: Знайти: 8Дано: Знайти: 9Дано: Знайти: 10Дано: Знайти: 11Дано: Знайти: 12Дано: Знайти: 13Дано: Знайти: 14Дано: Знайти: 15Дано: Знайти: 16Дано: Знайти: 17Дано: Знайти: 18Дано: Знайти: 19Дано: Знайти: 20Дано: Знайти: 21Дано: Знайти: 22Дано: Знайти: 23Дано: Знайти: 24Дано: Знайти: 25Дано: Знайти: 26Дано: Знайти: 27Дано: Знайти: 28Дано: Знайти: 29Дано: Знайти: 30Дано: Знайти:

Задача №2. Задане матричне рівняння розв’язати за допомогою оберненої матриці:

1 9 2 10 3 11 4 12 5 13 6 14 7 15 8 16 17 24 18 25 19 26 20 27 21 28 22 29 23 30
  • ^

    2. Тема “Системи лінійних АЛГЕБРАЇЧНИХ рівнянь”

  • Теоретичні питання


  1. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Розв’язування за методом Гаусса. Формула Крамера. Розв’язування за допомогою оберненої матриці.

  2. Сумісність систем лінійних рівнянь. Теорема Кронекера-Капеллі. Розв’язування неоднорідних систем лінійних алгебраїчних рівнянь



  1. ^

    Розв’язування типового варіанта


  1. Маємо систему лінійних неоднорідних алгебраїчних рівнянь:



Необхідно:

Перевірити, чи є система сумісною, та в разі сумісності розв’язати її:

а) за формулами Крамера;

б) за допомогою оберненої матриці (матричним методом);

в) методом Гаусса.

Розв’язання:

Сумісність даної системи перевіримо за теоремою Кронекера-Капеллі. За допомогою елементарних перетворювань знайдемо ранг

матриці даної системи

та ранг розширеної матриці .

Для цього помножимо перший рядок матриці В на –2 та додамо до другого, далі множимо перший рядок на –3 і додаємо до третього, змінюємо третій і другий стовпці місцями:

~ ~ ~

Отже . Тоді за теоремою Кронекера-Капеллі випливає сумісність даної системи.

а) за формулами Крамера:

якщо , , , , де

, , ,

знаходимо: , ,

б) Для знаходження розв’язку системи за допомогою оберненої матриці запишемо систему рівнянь у матричної формі , де

, , .

Розв’язок системи у матричної формі має вигляд .

Знаходимо обернену матрицю (вона існує, тому що ):

, ,

, ,

, ,



Розв’язок системи:



Отже, , ,

в) Розв’яжемо систему за методом Гаусса. Зведемо початкову систему рівнянь к трикутному виду. Вилучимо x1 з другого й третього рівнянь. Для цього перше рівняння помножимо на 2 та віднімемо від другого, потім перше рівняння помножимо на 3 та віднімемо від третього:



Розв’язок системи: , , .

  1. Маємо систему лінійних неоднорідних алгебраїчних рівнянь:



Необхідно:

Перевірити, чи є система сумісною, та в разі сумісності розв’язати її:

а) за формулами Крамера;

б) за допомогою оберненої матриці (матричним методом);

в) методом Гауса.

Розв’язання:

Сумісність даної системи перевіримо за теоремою Кронекера-Капеллі. У розширеної матриці



третій і перший стовпці міняємо місцями, множимо перший рядок на 3 і додаємо до другого, множимо перший рядок на 2 і додаємо до третього, із третього рядка віднімаємо другий рядок:

~ ~ ~

Отже зрозуміло, що . Відповідно до теореми Кронекера-Капеллі, з того, що , випливає несумісність вихідної системи, таким чином дана система розв’язків не має.

  1. Розв’язати однорідну систему лінійних алгебраїчних рівнянь:



Розв’язання:

Визначник системи , тому система має єдиний нульовий розв’язок:

  1. Розв’язати однорідну систему лінійних алгебраїчних рівнянь:



Через те, що визначник системи , то система має нескінченну множину розв’язків. Оскільки , візьмемо будь-які два рівняння системи (наприклад, перше і друге) і знайдемо її розв’язок.

Маємо:



Через те, що визначник з коефіцієнтів при невідомих і не дорівнює нулю, то в якості базисних невідомих візьмемо і (хоча можна брати й інші пари невідомих) і перенесемо члени з в праві частини рівнянь:



Розв’язуємо останню систему за формулами Крамера:

, , де

, ,

Звідси знаходимо: , .

Вважаючи, наприклад, , де kR – довільний коефіцієнт пропорційності, одержуємо розв’язок вихідної системи: , , .
  1. ^

    2.1 Варіанти завдань до теми «Системи лінійних рівнянь»


Задача №1. Задана неоднорідна система лінійних рівнянь.

Необхідно:

  1. перевірити її сумісність;

  2. у випадку сумісності розв’язати систему трьома засобами:

  • за формулами Крамера;

  • методом Гаусса;

  • за допомогою оберненої матриці.

1 8 2 9 3 10 4 11 5 12 6 13 7 14 15 23 16 24 17 25 18 26 19 27 20 28 21 29 22 30


Задача №2. Розв’язати однорідну систему лінійних рівнянь:

1 11 2 12 3 13 4 14 5 15 6 16 7 17 8 18 9 19 10 20 21 26 22 27 23 28 24 29 25 30
  • ^

    3. Тема “Вектори на площині та у просторі”

  • Теоретичні питання


  1. Поняття вектора. Дії з векторами. Колінеарні вектори. Компланарні вектори. Базис векторів на площині й у просторі.

  2. Скалярний добуток векторів та його властивості. Кут між векторами. Скалярний добуток у координатах.

  3. Векторний добуток векторів та його властивості. Векторний добуток векторів у координатах.

  4. Мішаний добуток векторів та його властивості. Мішаний добуток векторів у координатах.

  5. Лінійно незалежні та лінійно залежні системи векторів.



  1. ^

    Розв’язування типового варіанта


  1. По координатах точок , та знайти:

  2. модуль вектора ;

  3. скалярний добуток векторів та ;

  4. проекцію вектора на вектор .

Розв’язання:

а) Послідовно знаходимо , , ,

б) Маємо , . Тоді .

в) Через те що , , то , ,

  1. Задані вектори , , .

Необхідно:

  1. знайти модуль векторного добутку та ;

  2. обчислити мішаний добуток векторів , та ;

  3. перевірити, чи є компланарними вектори , та .

Розв’язання:

а) Оскільки , то





б) Через те, що , то



в) Вектори , та є компланарними, якщо .

Обчислюємо , тобто вектори не компланарні.

  1. Вершини піраміди знаходяться у точках , , , .

Обчислити:

  1. площу грані АВС;

  2. площу перерізу, який проходить через середини ребер AB, AC, AD;

  3. об’єм піраміди ABCD.

Розв’язання:

а) Відомо, що . Знаходимо: , ,

.

Остаточно маємо: (кв. од.)

б) Середини ребер AB, AC, AD знаходяться відповідно у точках , , .

Знаходимо координати цих точок.



Координати точок та знаходимо аналогічно. , .

Далі маємо: , , .





в) Об’єм піраміди знаходимо за формулою .

, . Таким чином .

  1. Довести, що вектори , , утворюють базис, та знайти координати вектора в цьому базисі.

Обчислюємо



Отже, вектори , , утворюють базис та вектор лінійно виражається через базисні вектори:

,

де координати вектора у базисі , , або у координатній формі



Розв’язуємо одержану систему за формулами Крамера. Знаходимо: .

, ,

, ,

тому .
  1. ^

    3.1 Варіанти завдань до теми «Вектори на площині та у просторі»


Задача №1. Задано вектори , , . Необхідно:

  1. обчислити мішаний добуток трьох векторів;

  2. знайти модуль векторного добутку двох векторів;

  3. перевірити, чи є компланарними три вектори.

Для кожного пункту вказані різні вектори (по варіантах).

1 , 1)

, 2)

, 3) 8 , 1)

, 2)

, 3) 2 , 1)

, 2)

, 3) 9 , 1)

, 2)

, 3) 3 , 1)

, 2)

, 3) 10 , 1)

, 2)

, 3) 4 , 1)

, 2)

, 3) 11 , 1)

, 2)

, 3) 5 , 1)

, 2)

, 3) 12 , 1)

, 2)

, 3) 6 , 1)

, 2)

, 3) 13 , 1)

, 2)

, 3) 7 , 1)

, 2)

, 3) 14 , 1)

, 2)

, 3) 15 , 1)

, 2)

, 3) 23 , 1)

, 2)

, 3) 16 , 1)

, 2)

, 3) 24 , 1)

, 2)

, 3) 17 , 1)

, 2)

, 3) 25 , 1)

, 2)

, 3) 18 , 1)

, 2)

, 3) 26 , 1)

, 2)

, 3) 19 , 1)

, 2)

, 3) 27 , 1)

, 2)

, 3) 20 , 1)

, 2)

, 3) 28 , 1)

, 2)

, 3) 21 , 1)

, 2)

, 3) 29 , 1)

, 2)

, 3) 22 , 1)

, 2)

, 3) 30 , 1)

, 2)

, 3)

Задача №2. Вершини піраміди знаходяться у точках А, В, С та D.

Обчислити: а) площу вказаній у Вашому варіанті грані;

б) об’єм піраміди.

1A(3; 4; 5), B(1; 2; 1), C(-2; -3; 6), D(3; -6; -3), грань ACD2A(-7; -5; 6), B(-2; 5; -3), C(3; -2; 4), D(1; 2; 2), грань BCD3A(1; 3; 1), B(-1; 4; 6), C(-2; -3; 4), D(3; 4; -4), грань ACD4A(2; 4; 1), B(-3; -2; 4), C(3; 5; -2), D(4; 2; -3), грань ABD5A(-5; -3; -4), B(1; 4; 6), C(3; 2; -2), D(8; -2; 4), грань ACD6A(3; 4; 2), B(-2; 3; -5), C(4; -3; 6), D(6; -5; 3), грань ABD7A(-4; 6; 3), B(3; -5; 1), C(2; 6; -4), D(2; 4; -5), грань ACD8A(7; 5; 8), B(-4; -5; 3), C(2; -3; 5), D(5; 1; -4), грань BCD9A(3; -2; 6), B(-6; -2; 3), C(1; 1; 4), D(4; 6; -7), грань ABD10A(-5; -4; -3), B(7; 3; -1), C(6; -2; 0), D(3; 2; -7), грань BCD11A(3; -5; -2), B(-4; 2; 3), C(1; 5; 7), D(-2; -4; 5), грань ACD12A(7; 4; 9), B(1; -2; -3), C(-5; -3; 0), D(1; -3; 4), грань ABD13A(-4; -7; -3), B(-4; -5; 7), C(2; -3; 3), D(3; 2; 1), грань BCD14A(-4; -5; -3), B(3; 1; 2), C(5; 7; -6), D(6; -1; 5), грань ACD15A(5; 2; 4), B(-3; 5; -7), C(1; -5; 8), D(9; -3; 5), грань ABD16A(-6; 4; 5), B(5; -7; 3), C(4; 2; -8), D(2; 8; -3), грань ACD17A(5; 3; 6), B(-3; -4; 4), C(5; -6; 8), D(4; 0; -3), грань BCD18A(5; -4; 4), B(-4; -6; 5), C(3; 2; -7), D(3; -6; -3), грань ABD19A(-7; -6; -5), B(5; 1; -3), C(8; -4; 0), D(3; 4; -7), грань BCD20A(7; -1; -2), B(1; 7; 8), C(3; 7; 9), D(-3; -5; 2), грань ACD21A(5; 2; 7), B(7; -6; -9), C(-7; -6; 3), D(1; -5; 2), грань ABD22A(-2; -5; -1), B(-6; -7; 9), C(4; -5; 1), D(2; 1; 4), грань BCD23A(-6; -3; -5), B(5; 1; 7), C(3; 5; -1), D(4; -2; 9), грань ACD24A(7; 4; 2), B(-5; 3; -9), C(1; -5; 3), D(7; -9; 1), грань ABD25A(-8; 2; 7), B(3; -5; 9), C(2; 4; -6), D(4; 6; -5), грань ACD26A(-4; -4; 3), B(-2; -1; 1), C(2; -2; -1), D(-1; 3; -2), грань BCD27A(-3; -3; -3), B(2; -1; -3), C(-1; 2; -3), D(-2; -1; 1), грань ACD28A(3; 1; 1), B(1; 4; 1), C(1; 1; 6), D(3; 4; 9), грань ABD29A(4; 3; 10), B(5; 1; 5), C(2; 2; 5), D(-3; -4; 2), грань BCD30A(-3; -2; -4), B(-1; -4; -7), C(1; -2; 2), D(0; 3; 1), грань ACD

Задача №3. Довести, що задані вектори , , утворюють базис та знайти координати вектора у цьому базисі.

1 (5; 4; 1) (-3; 5; 2) (2; -1; 3) (7; 23; 4)2 (2; -1; 4) (-3; 0; -2) (4; 5; -3) (0; 11; -14)3 (-1; 1; 2) (2; -3; -5) (-6; 3; -1) (28; -19; -7)4 (1; 3; 4) (-2; 5; 0) (3; -2; -4) (13; -5; -4)5 (1; -1; 1) (-5; -3; 1) (2; -1; 0) (-15; -10; 5)6 (3; 1; 2) (-7; -2; -4) (-4; 0; 3) (16; 6; 15)7 (-3; 0; 1) (2; 7; -3) (-4; 3; 5) (-16; 33; 13)8 (5; 1; 2) (-2; 1; -3) (4; -3; 5) (15; -15; 24)9 (0; 2; -3) (4; -3; -2) (-5; -4; 0) (-19; -5; -4)10 (3; -1; 2) (-2; 3; 1) (4; -5; -3) (-3; 2; -3)11 (5; 3; 1) (-1; 2; -3) (3; -4; 2) (-9; 34; -20)12 (3; 1; -3) (-2; 4; 1) (1; -2; 5) (1; 12; -20)13 (6; 1; -3) (-3; 2; 1) (-1; -3; 4) (15; 6; -17)14 (4; 2; 3) (-3; 1; -8) (2; -4; 5) (-12; 14; -3)15 (-2; 1; 3) (3; -6; 2) (-5; -3; -1) (31; -6; 22)16 (1; 3; 6) (-3; 4; -5) (1; -7; 2) (-2; 17; 5)17 (7; 2; 1) (5; 1; -2) (-3; 4; 5) (26; 11; 1)18 (3; 5; 4) (-2; 7; -5) (6; -2; 1) (6; -9; 22)19 (5; 3; 2) (2; -5; 1) (-7; 4; -3) (36; 1; 15)20 (11; 1; 2) (-3; 3; 4) (-4; -2; 7) (-5; 11; -15)21 (9; 5; 3) (-3; 2; 1) (4; -7; 4) (-10; -13; 8)22 (7; 2; 1) (3; -5; 6) (-4; 3; -4) (-1; 18; -16)23 (1; 2; 3) (-5; 3; -1) (-6; 4; 5) (-4; 11; 20)24 (-2; 5; 1) (3; 2; -7) (4; -3; 2) (-4; 22; -15)25 (3; 1; 2) (-4; 3; -1) (2; 3; 4) (14; 14; 20)26 (1; 2; 3) (2; -3; 1) (-1; 2; 1) (2; 2; 8)27 (2; 3; 4) (4; 6; -1) (1; 2; -3) (4; 4; 1)28 (2; 1; 3) (1; -1; -2) (-1; -3; 4) (0; 13; -15)29 (2; 1; 1) (-3; 3; 0) (3; -3; 1) (-10; 13; 0)30 (3; 1; 2) (4; 5; 3) (2; 2; 4) (8; 5; 3)
  • ^

    4. Тема “Рівняння прямої та площини у просторі”

  • I. Площина

  • Теоретичні питання


  1. Загальне рівняння площини

, (4.1.1)

де A, B, C та D не дорівнюють 0.

  1. Рівняння площини, що проходить через точку і перпендикулярної вектору

. (4.1.2)

  1. Рівняння площини у відрізках

, (4.1.3)

де a, b, c відрізки відповідно на осях Ox, Oy, Oz.

  1. Рівняння площини, що проходить через три дані точки , , , які не лежать на одній прямій

. (4.1.4)

  1. Нормальне рівняння площини

. (4.1.5)

  1. Гострий кут між площинами и визначається за формулою

. (4.1.6)

  1. Умова паралельності двох площин

. (4.1.7)

  1. Умова перпендикулярності двох площин

. (4.1.8)

  1. Відстань від точки до площини

. (4.1.9)

  1. ^

    Розв’язування типового варіанта


  1. Написати рівняння площини, паралельної вісі Oz яка проходить через точки M (-1; 4; -7) і N (2; -3; 6).

Розв’язання:

Оскільки площина паралельна вісі Оz її рівняння має вигляд . Підставимо в рівняння координати точок M і N. Маємо:





Тоді шукане рівняння має вигляд .

; .

  1. Написати рівняння площини, що проходить через точку і перпендикулярної площинам і .

Розв’язання:

За нормальний вектор шуканої площини приймаємо векторний добуток нормальних векторів і даних площин:



Тепер лишається скористатися рівнянням площини, що проходить через дану точку перпендикулярно вектору :

, чи .
  • ^

    II. Рівняння прямої у просторі

  • Теоретичні питання


  1. Рівняння прямої, що проходить через точку і паралельної вектору

- канонічне рівняня . (4.2.1)

  1. Параметричні рівняння прямої

. (4.2.2)

  1. Рівняння прямої, що проходить через дві точки та має вид

. (4.2.3)

  1. Загальні рівняння прямої

(4.2.4)

  1. Гострий кут між прямими

(4.2.5)

та (4.2.6)

визначається по формулі

. (4.2.7)

  1. Умова паралельності двох прямих (4.2.4) і (4.2.5)

. (4.2.8)

  1. Умова перпендикулярності двох прямих (4.2.5) і (4.2.6)

. (4.2.9)

  1. ^

    Розв’язування типового варіанта


  1. Скласти канонічне рівняння прямої, що проходить через точку А (7; -1; 4) і рівнобіжній вектору .

Розв’язання:

Скористаємося рівнянням (4.2.1) при , , та , , .

Отримуємо .

  1. Знайти гострий кут між прямими , , та .

Розв’язання:

Приводимо рівняння першої прямої к канонічному виду .

Далі, використовуючи формулу (4.2.7), знаходимо .



рад.
  1. ^

    4.1 Варіанти завдань до теми «Рівняння прямої та площини у просторі»


Задача №1. Розв’язати завдання.

1Дані точки та . Скласти рівняння площини, яка проходить через точку M1 та перпендикулярна вектору .2Знайти гострий кут між площинами:

та .3Скласти канонічне рівняння прямої, яка проходить через точку A (-5; 8; -3) та паралельна вектору .4Написати рівняння площини, яка паралельна вісі Oz та проходить через точки M (-3; 7; -5) та N (-8; 3; -4).5Скласти параметричне рівняння прямої, яка проходить через точку M (8; -3; -1) та паралельна вектору .6Знайти гострий кут між прямими:

та .7При якому значенні m пряма паралельна площині .8Написати рівняння площини, яка проходить через точку
(-4; 3; -7) паралельно площині .9Знайти гострий кут між площинами:

та .10Знайти відрізки, які відсікає площина на осях координат.11Написати параметричні рівняння прямої l, яка проходить через точку A (-4; 9; -3) паралельно вектору .12Скласти рівняння площини, яка проходить через три точки:
M1 (1; -3; 4), M2 (0; -2; -1) та M3 (1; 1; -1).13Скласти параметричне рівняння прямої, яка проходить через точку M (8; -3; -1) та паралельна прямої , , .14Знайти кут між прямою та площиною .15Знайти гострий кут між прямими: та , , .16Написати рівняння площини, яка проходить через точку та перпендикулярна вектору .17Скласти параметричне рівняння прямої, яка проходить через точку M (8; -3; -1) та паралельна вісі Ox.18Знайти кут між прямою та площиною .19Скласти рівняння площини, яка проходить через точку та перпендикулярна прямої .20Написати рівняння площини (KLN), де K (1; -6; 7), L (4; 5; -3),
N (3; 0; 2).21Скласти параметричне рівняння прямої, яка проходить через точку M (8; -3; -1) та паралельна осі Oz.22Скласти рівняння прямої, яка проходить через точки та N (4; -8; 7).23Скласти параметричне рівняння прямої, яка проходить через точку M (8; -3; -1) та перпендикулярна площині .24Написати рівняння площини, яка проходить через точку та відсікає на осях координат конгруентні відрізки.25Знайти гострий кут між площинами:

та .26Скласти рівняння прямої, яка проходить через точки та N (4; 1; -3).27Скласти параметричне рівняння прямої, яка проходить через точку M (3; -6; 7) та паралельна осі Oy.28Скласти рівняння перпендикуляра до площини , який проходить через точку .29Знайти гострий кут між площинами:

та .30Скласти рівняння площини, яка проходить через три точки:
M1 (2; -5; 7), M2 (5; -3; -8) та M3 (2; 7; -4).
  • ^

    перелік джерел


  1. Методичні рекомендації до курсу «Основи вищої математики» для спеціальностей техніко-технологічного, економічного напрямків. - К.: ІСДО, 1995

  2. Валуце И.И., Дилигуля Т.Д. Математика для техникумов (на базі середньої школи).

  3. Яковлев Г.Н. Алгебра и начало анализа І и ІІ часть. – М.: Наука, 1972

  4. Яковлев Г.Н. Геометрия – М.: Наука, 1982

  5. Демидович Б.Н. Задачи и упражнения по математическому анализу – М.: Наука, 1966

  6. М.І.Шкіль, З.І.Слепкань, О.С.Дубинчук. Алгебра і початки аналізу 10-11кл. – К.: ЗОДІАК-ЕКО, 1995

  7. Рублев А.Н. Линейная алгебра. – М.: Высшая школа, 1968

  8. В. А. Волков Аналитическая геометрия и векторная алгебра. Учебное пособие. – Л.: Изд-во Ленинградского университета, 1986


Схожі:

«Лінійна та векторна алгебра аналітична геометрія» Методичні вказівки та контрольні завдання для студентів iconДержавний вищий навчальний заклад «український державний хіміко-технологічний...
«Лінійна та векторна алгебра. Аналітична геометрія на площині та у просторі» для студентів економічних спеціальностей денної та заочної...
«Лінійна та векторна алгебра аналітична геометрія» Методичні вказівки та контрольні завдання для студентів iconЛінійна алгебра та аналітична геометрія
Перевіріти колінеарність векторів І, побудованих з допомогою векторів І
«Лінійна та векторна алгебра аналітична геометрія» Методичні вказівки та контрольні завдання для студентів iconОхорона праці методичні вказівки та контрольні завдання для студентів-заочників...
Методичні вказівки та контрольні завдання з охорони праці для студентів-заочників усіх спеціальностей. – Полтава: Полтнту, 2007....
«Лінійна та векторна алгебра аналітична геометрія» Методичні вказівки та контрольні завдання для студентів iconРозділ 1 Поняття про операційні системи Введення в програмування на асемблері
Методичні вказівки та контрольні завдання для студентів заочного відділення для спеціальностей
«Лінійна та векторна алгебра аналітична геометрія» Методичні вказівки та контрольні завдання для студентів iconМетодичні рекомендації та індивідуальні завдання для практичних занять...
Методичні рекомендації та індивідуальні завдання для практичних занять І самостійної роботи студентів з дисципліни "Нарисна геометрія...
«Лінійна та векторна алгебра аналітична геометрія» Методичні вказівки та контрольні завдання для студентів iconПрограма, методичні вказівки І контрольні завдання для студентів...
Міністерство освіти І науки України Криворізький технічний університет Кафедра іноземних мов
«Лінійна та векторна алгебра аналітична геометрія» Методичні вказівки та контрольні завдання для студентів iconГраматичний коментар
Англійська мова. Методичні вказівки, контрольні завдання І тести з граматики та лексики англійської мови для студентів І курсу інженерних...
«Лінійна та векторна алгебра аналітична геометрія» Методичні вказівки та контрольні завдання для студентів iconФармацевтичний факультет
Контрольні завдання з фармацевтичної ботаніки та методичні вказівки до їх виконання
«Лінійна та векторна алгебра аналітична геометрія» Методичні вказівки та контрольні завдання для студентів iconКафедра «автомобілі та автомобільне господарство» методичні вказівки...
Вказівки включають методику виконання лабораторних робіт, короткі теоретичні відомості І методичні рекомендації, завдання до роботи...
«Лінійна та векторна алгебра аналітична геометрія» Методичні вказівки та контрольні завдання для студентів iconМетодичні вказівки та завдання
Методичні вказівки по виконанню контрольних робіт з дисципліни "Фінанси підприємств" (для студентів заочної форми навчання): Укладені...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Школьные материалы


База даних захищена авторським правом © 2015
звернутися до адміністрації
skaz.com.ua
Головна сторінка