План Визначення частинної похідної функції багатьох змінних Зв’язок між повною І частинними похідними Достатня умова диференційованості функції багатьох змінних




Скачати 69.45 Kb.
НазваПлан Визначення частинної похідної функції багатьох змінних Зв’язок між повною І частинними похідними Достатня умова диференційованості функції багатьох змінних
Дата конвертації15.12.2013
Розмір69.45 Kb.
ТипЛекція
skaz.com.ua > Математика > Лекція
Лекція 25. Частинна похідна функції багатьох змінних

План

  1. Визначення частинної похідної функції багатьох змінних

  2. Зв’язок між повною і частинними похідними

  3. Достатня умова диференційованості функції багатьох змінних

  4. Похідна за напрямом

  5. Градієнт функції багатьох змінних


1.Визначення частинної похідної функції багатьох змінних

Нехай , - відкрита множина, - стандартний базис в . Точка , .

Визначення 1. Частинною похідною функції по змінній , чи i-ою частинною похідною в точці , називається
,
якщо вона існує.

Частинна похідною функції по змінній в точці позначається: чи .

Нехай . Оскільки , то . Тоді
. (10)
З формули (10) зрозуміло, що частинна похідна функції багатьох змінних – це звичайна похідна функції одної змінної (всі інші змінні зафіксовані): . Тобто
.
Приклад. Нехай . Ця функція буде мати дві частинні похідні (по кожній своїй змінній):
, .
Частинна похідна описує поведінку функції багатьох змінних, коли всі змінні, крім одної. Залишаються сталими.
^ 2.Зв’язок між повною і частинними похідними

Теорема 1. Нехай , - відкрита множина. Якщо функція диференційована у точці , то в цій точці у неї існують всі частинні похідні.

Доказ. Оскільки функція диференційована у точці , то відповідно до формули (40) попередньої лекції для неї має місце формула:
,
де . Якщо , , то , де .

Нехай .
. (20)
З (20), враховуючи лінійність форми , витікає еквівалентна рівність:
. (30)
Поділимо обидві частини рівності (30) на :
. (40)
Перейдемо до границі в рівності (40), коли :
,
що й потрібно було довести.

Нехай функція диференційована у точці . Візьмемо .
.
Враховуючи лінійність лінійної форми , маємо:
.
Підставляємо (50) в попередню формулу і, пригадуючи визначення функцій , отримуємо:
.

Таким чином, лінійна форма має вигляд:
, (55)
тобто має місце наступне твердження:

Твердження 1. Якщо функція диференційована у точці , то в неї існують всі частинні похідні в точці , які є координатами її повної похідної у базису, спряженому до стандартного базиса простору .
^ 3. Достатня умова диференційованості функції багатьох змінних

Зауваження. Функція може мати всі частинні похідні у поданій точці , але бути недиференційованою в цій точці.

Приклад. . За визначенням частинної похідної:
,
.
Таким чином, обидві частинні похідні в точці існують. Покажимо, що подана функція не буде диференційованою в точці . Якщо припустити, що диференційована в , а вектор , то вона повинна представлятися у вигляді:

Для того, щоб мала місце попередня формула, тобто, щоб , коли , треба, щоб

. (60)
Перевіримо це. Для цього визначимо множину і обчислимо границю (60) по цій множині:
.
Таким чином, формула (60) не має місця, , коли , а подана функція не є диференційованою в точці , хоча і має в цій точці всі частинні похідні.

Нехай , - відкрита множина. Припустимо, що в кожній точці існує . Тоді на множині визначена дійсна функція:
, .
Визначення 2. Якщо функція , - відкрита множина, має в кожній точці множини всі частинні похідні , неперервні скрізь на , то кажуть, що функція належить класу і позначають: .

Визначення 3. Нехай функція диференційована в кожній точці множини . Тоді кажуть, що диференційована на множині .

Теорема 2 (достатня умова диференційованості функції багатьох змінних). Нехай функція , - відкрита множина, , тоді вона диференційована на .

Зауваження. Неперервність усіх частинних похідних функції на множині не є необхідною умовою диференційованості функції на множині .
^ 4. Похідна за напрямом

Нехай , - відкрита множина, , , , .

Визначення 4. Похідною функції в точці за напрямом називається

якщо ця границя існує, і позначається .

Похідна функції в точці за напрямом - це число. Якщо , похідна за напрямом - це частинна похідна .

Теорема 3. Нехай диференційована в точці . Тоді для будь-якого вектора , існує і

, (70)
Тобто значення - це значення похідної функції на векторі .

Нехай . Формула (70), враховуючи (55), може бути детальніше записана у вигляді:
==
= (75)
Доказ. Оскільки функція диференційована в точці , то має місце рівність:

.
Нехай , , . Тоді , а попередня формула буде мати вид:

. (80)
Розділимо останню формулу на і перейдемо в отриманій рівності до границі при :
,
що й потрібно було довести.
^ 5.Градієнт функції багатьох змінних

Визначення 5. Нехай функція , - відкрита множина, диференційована в точці . Градієнтом функції в точці називається вектор
.
Користуючись поняттям градієнта функції, формулу (75 можна записати у вигляді:
=,
де - скалярний добуток векторів .
,
Тобто

. (90)
З (90) втікає, що по будь-якому напрямку похідна функції в точці – швидкість зміни функції в точці - не перевищує .

Розглянемо вектор - нормований вектор градієнта. Обчислимо похідну функції в точці за напрямом вектора градієнта:


Таким чином, градієнт – це вектор, за напрямом якого функція має найбільшу швидкість зростання.

Питання

  1. Визначеня частинною похідною функції.

  2. Яку поведінку функції багатьох змінних описує частинна похідна?

  3. Як повязане існування похідної функції багатьох змінних в точці з існуванням частинних похідних функції в цій точці?

  4. Чим є частинні похідні в точці функції для її повної похідної?

  5. Що можна сказати про диференційованість функції у поданій точці , якщо в цій точці вона має всі частинні похідні?

  6. Що означає, що ?

  7. Достатня умова диференційованості функції багатьох змінних.

  8. Визначення похідної функції в точці за напрямом .

  9. Як повязані між собою диференційованість функції в точці і існуванні в цій точці похідних за різними напрямами?

  10. Вирази для обчислення похідної за напрямом.

  11. Визначення градієнту функції.

Схожі:

План Визначення частинної похідної функції багатьох змінних Зв’язок між повною І частинними похідними Достатня умова диференційованості функції багатьох змінних iconЛекція 26. Похідні вищого порядку функції багатьох змінних План
Визначення частинної похідної -го порядку функції багатьох змінних. Поняття мішаної похідної
План Визначення частинної похідної функції багатьох змінних Зв’язок між повною І частинними похідними Достатня умова диференційованості функції багатьох змінних iconПлан Визначення локального екстремума функції багатьох змінних Необхідна...
Критерій Сильвестру знаковизначеності симетричної матриці. Достатня умова локального екстремума функції багатьох змінних
План Визначення частинної похідної функції багатьох змінних Зв’язок між повною І частинними похідними Достатня умова диференційованості функції багатьох змінних iconПлан Визначення функції багатьох змінних. Дійсна функція Визначення...
Нехай подані дві множини: Нехай є закон, який ставить в співвідношення деяке. В цьому випадку кажуть, що на визначена функція, яка...
План Визначення частинної похідної функції багатьох змінних Зв’язок між повною І частинними похідними Достатня умова диференційованості функції багатьох змінних iconІ. Функції багатьох змінних
Функції кількох змінних. Область визначення. Лінії та поверхні рівня
План Визначення частинної похідної функції багатьох змінних Зв’язок між повною І частинними похідними Достатня умова диференційованості функції багатьох змінних iconЛекція 22. Неперервність функції багатьох змінних
З визначення 1 витікає, що для точки, в якій функція є неперервною, можливі два варіанти
План Визначення частинної похідної функції багатьох змінних Зв’язок між повною І частинними похідними Достатня умова диференційованості функції багатьох змінних iconМультисервісна оптична транспортна мережа зв’язку миколаївської області
Для конфігурації вузлів мережі, складання специфікації змінних блоків та розробки схеми з’єднань змінних блоків на всіх вузлах мережі...
План Визначення частинної похідної функції багатьох змінних Зв’язок між повною І частинними похідними Достатня умова диференційованості функції багатьох змінних iconМодуль 2 ( 20010 учбовий рік ) Програма з курсу Математичного аналізу...
Диференціал функції. Необхідна та достатня умова можливості продиференціювати функцію
План Визначення частинної похідної функції багатьох змінних Зв’язок між повною І частинними похідними Достатня умова диференційованості функції багатьох змінних icon82. Поняття культури. Структура І функції культури
Серед основних таких функцій — пізнавальна, комунікативна, регулятивна, прогностична, ціннісно-орієнтаційна, які органічно взаємопов'язані...
План Визначення частинної похідної функції багатьох змінних Зв’язок між повною І частинними похідними Достатня умова диференційованості функції багатьох змінних iconРозділ 3 систематичний огляд живого світу
Великі організми, які ми звикли бачити навколо себе – багатоклітинні, що складаються з багатьох клітин, наприклад, тіло людини побудовано...
План Визначення частинної похідної функції багатьох змінних Зв’язок між повною І частинними похідними Достатня умова диференційованості функції багатьох змінних iconЗадача 1 Тема : Оператор присвоєння та стандартні функції Розрухувати...

Додайте кнопку на своєму сайті:
Школьные материалы


База даних захищена авторським правом © 2015
звернутися до адміністрації
skaz.com.ua
Головна сторінка