Конспект лекцій з дисципліни «Статистика»




НазваКонспект лекцій з дисципліни «Статистика»
Сторінка5/8
Дата конвертації19.11.2013
Розмір1.09 Mb.
ТипКонспект
skaz.com.ua > Економіка > Конспект
1   2   3   4   5   6   7   8
(5.2)
2) якщо відомо обсяг сукупності (m) та частоти ознаки (f):
(5.3)
3)якщо відомо значення ознаки (Х) та показники частки (f’):
(5.4)

Приклад.
За наступними даними про заробітну плату і чисельність робітників розрахувати середній рівень заробітної плати.

Заробітна плата, у.о с./люд.

Чисельність робітників, люд.

X

f

1350

35

1600

26

1800

15

2150

4


Розв’язання
Оскільки за умовою задачі відомо значення ознаки (Х) та частоти ознаки (f), розрахунок буде здійснено наступним чином:

Формально між середньою арифметичною простою і середньою арифметичною зваженою немає принципових відмінностей. Адже багаторазове підсумовування значень однієї варіанти замінюється множенням варіант на вагу. Проте функціонально середня зважена більш навантажена, оскільки враховує поширеність, повторюваність кожної варіанти і певною мірою відображує склад сукупності. Значення середньої зваженої залежить не лише від значень варіант, а й від структури сукупності. Чим більшу вагу мають малі значення ознаки, тим менша середня, і навпаки.

Іноді середні величини потрібно обчислити не з конкретних значень варіантів досліджуваної ознаки, а із значень величин, виражених у вигляді інтервалів. В таких випадках потрібно для кожного інтервалу знайти його середину за простою середньою між верхньою і нижньою межею кожного інтервалу і після цього проводити обчислення за формулою середньої арифметичної зваженої.

Приклад.

Розрахувати середню собівартість продукції.

Продуктивність праці, од./люд.

Середина інтервалу

(X)

Чисельність робітників, люд.

(f)

Кількість продукції, од.

(X*f)

200-204

202

10

2020

204-208

206

28

5768

208-212

210

26

5460

212-216

214

8

1712

216-220

218

4

872

220-224

222

2

444

224-228

226

2

452

Разом

х

80

16728




Середня арифметична має деякі математичні властивості, що мають е стимуля значення. Найважливіші з них такі:

1) Якщо всі варіанти збільшити або зменшити на одне й теж число (А), то й середня арифметична збільшиться (зменшиться) на теж число (А):
(5.5)
2) Якщо всі варіанти збільшити або зменшити в одне й теж число (В) раз, то й середня арифметична відповідно збільшиться (зменшиться) в (В) раз:
(5.6)
3) Якщо всі частоти (ваги) поділити або помножити на яке-небудь число (К), то середня арифметична від цього не зміниться:
(5.7)
4) Алгебраїчна сума відхилень окремих варіант ознаки від середньої дорівнює нулю:
(5.8)
тобто в середній взаємно компенсуються додатні та від’ємні відхилення окремих варіант.

5) Сума квадратів відхилень окремих варіант ознаки від середньої менша, ніж від будь-якої іншої величини:
(5.9)
Використання першої і другої властивостей середньої арифметичної дозволяє значно спростити її обчислення. Цей метод в статистиці називають методом моментів, або метод відліку від умовного нуля. Розглянемо спрощений спосіб обчислення середньої арифметичної методом моментів за даними попереднього прикладу.


Продуктивність праці, од./люд.

Середина інтервалу

(X)

Чисельність робітників, люд.

(f)

Скорочені варіанти

Зважені скорочені варіанти



Х-А

А=206



К=4

200-204

202

10

-4

-1

-10

204-208

206

28

0

0

0

208-212

210

26

4

1

26

212-216

214

8

8

2

16

216-220

218

4

12

3

12

220-224

222

2

16

4

8

224-228

226

2

20

5

10

Разом

х

80

х

х

62


Формула для знаходження середньої арифметичної способом моментів має вигляд:

(5.10)

де – момент першого порядку.

Визначимо момент першого порядку:



Підставляємо значення в формулу:


Отже, було отримано той самий результат, що й при обчисленні за звичайною формулою середньої арифметичної зваженої.

5.3 Середня гармонійна, її різновиди і сфера використання

В статистичній практиці часто зустрічаються випадки, коли середню потрібно обчислювати за формулою середньої гармонічної. Це відбувається тоді, коли підсумовуванню підлягають не самі варіанти, а обернені їм числа. В цьому випадку, для знаходження середнього значення варіаційної ознаки, застосовують формулу середньої гармонічної простої, яка має вигляд:

(5.11)
де n – число індивідуальних значень ознак;

– сума обернених значень ознак.
Середню гармонічну зважену застосовують в тих випадках, коли є дані про індивідуальні значення ознаки в загальній сукупності і загальний обсяг сукупності, але в готовому виді немає частот:
(5.12)
де – сума добутку обернених ознак і частот.
Приклад.

За наступними даними розрахувати для кожного варіанту середню собівартість продукції.


Варіант 1

Варіант 2

Собівартість продукції, грн./од.

Грошові витрати на виробництво продукції,

тис. грн.

Собівартість продукції, грн./од.

Грошові витрати на виробництво продукції,

тис. грн.

X

m

X

m

25

800

18

720

20

800

32

1440

28

800

24

840

Розраховуємо середню собівартість продукції для першого варіанта:

Розраховуємо середню собівартість продукції для другого варіанта:


5.4 Характеристика середньої геометричної та середньої квадратичної величини

Якщо визначальна властивість сукупності формується як добуток індивідуальних значень ознаки, використовується середня геометрична:
(5.13)

де – символ добутку;

Xi – відносні величини динаміки, виражені кратним відношенням i-го значення показника до попереднього (i-1)-го.

Коли часові інтервали не однакові, розрахунок виконують за формулою середньої геометричної зваженої:
(5.14)

Найбільш широко використовується при аналізі динаміки з метою визначення середнього темпу зростання.
Середня квадратична використовується при визначенні показників варіації.

Середня квадратична проста:
(5.15)
Середня квадратична зважена:
(5.16)

5.5 Характеристики центру розподілу: середня, мода, медіана

Центром тяжіння будь-якої статистичної сукупності є типовий рівень ознаки, узагальнююча характеристика всього розмаїття її індивідуальних значень. Такою характеристикою є середня величина.

Окрім типового рівня важливе значення має домінанта, тобто найбільш поширене значення ознаки. Таке значення називають модою.

Модою називається величина ознаки (варіанта), яка найчастіше зустрічається в даній сукупності.

У дискретному ряду моду визначають безпосередньо за найбільшою частотою (часткою).

В інтервальному ряду за тим самим принципом визначається модальний інтервал, а потім конкретне модальне значення в середині інтервалу обчислюється за інтерполяційною формулою:
(5.17)
де х0 – нижня межа модального інтервалу;

іМО – ширина модального інтервалу;

fМО – частота модального інтервалу;

fМО-1 – частота передмодального інтервалу;

fМО+1 – частота післямодального інтервалу.

Для моди як домінанти число відхилень (х – Мо) мінімальне. Оскільки мода не належить від крайніх значень ознаки, то її доцільно використовувати тоді, коли ряд розподілу має невизначені межі.

Характеристикою центра розподілу вважається також медіана – значення ознаки, яка припадає на середину впорядкованого ряду, поділяє його навпіл – на два рівні за обсягом частини.

Щоб знайти медіану в дискретному варіаційному ряду, потрібно спочатку розташувати всі варіанти в зростаючому або спадаючому порядку. Потім визначити номер медіани, який вкаже на її розташування в рангованому ряді за формулою:
(5.18)
Щоб визначити медіану інтервального варіаційного ряду спочатку, за допомогою нагромаджених частот, потрібно знайти інтервал, що містить медіану. Значення медіани в середині інтервалу, як і значення моди, обчислюють за інтерполяційною формулою:
(5.19)

де х0 – нижня межа медіанного інтервалу;

іМе – ширина медіанного інтервалу;

fМе – частота модального інтервалу;

SМе-1 – кумулятивна частота передмедіанного інтервалу.

Медіана, як і мода, не залежить від крайніх значень ознаки; сума модулів відхилень варіант від медіани мінімальна, тобто вона має властивість лінійного мінімуму:
(5.20)
Цю властивість медіани можна використати при проектуванні розміщення зупинок міського транспорту, заготівельних пунктів тощо.

Окрім моди і медіани, в аналізі закономірностей розподілу використовуються також квартилі та децилі. Квартилі – це варіанти, які поділяють обсяги сукупності на чотири рівні частини, децилі – на десять рівних частин. Ці характеристики визначаються на основі кумулятивних частот (часток) за аналогією з медіаною, яка є другим кварти лем або п’ятим децилем.

Мода, медіана, квартилі і децилі відносяться до так званих порядкових

статистик, під якими розуміють варіант, який займає певне порядкове місце в

рангованому варіаційному ряду.

Їх використання в статистичному аналізі варіаційних рядів дозволяє більш глибоко дослідити і детальніше охарактеризувати сукупність, яка вивчається.


5.6 Сутність та показники варіації

Середні величини мають велике теоретичне і практичне значення, вони дають узагальнюючу характеристику сукупності за варіаційними ознаками, виражають типовий, для даних умов, рівень цих ознак. Проте, для характеристики досліджуваних явищ одних тільки середніх величин недостатньо, оскільки, при однакових значеннях середньої величини, різні сукупності можуть істотно відрізнятись одна від одної за характером варіації величини досліджуваної ознаки.

Середні величини не виражають індивідуальних особливостей досліджуваної сукупності, які породжують варіацією ознаки її окремих елементів, а тому, їх потрібно доповнювати показниками, що характеризують коливання значень ознаки в сукупності.

Варіацією в статистиці називаються коливання ознаки в одиниць сукупності, а показники, що характеризують ці коливання називаються показниками варіації. Вони показують як розміщуються навколо середньої окремі значення осереднюваної ознаки.

Для вимірювання варіації у статистиці використовують такі показники як: розмах варіації, середнє лінійне відхилення, середній квадрат відхилення (дисперсія), середнє квадратичне відхилення і коефіцієнт варіації.

Розмах варіації (R) являє собою різницю між найбільшим і найменшим значенням ознаки:
1   2   3   4   5   6   7   8

Схожі:

Конспект лекцій з дисципліни «Статистика» iconКонспект лекцій міністерство освіти І науки України
Методичні вказівки до вивчення основних тем з дисципліни “Інформаційні технології ” „Опорний конспект лекцій” для студентів спеціальності...
Конспект лекцій з дисципліни «Статистика» iconКонспект лекцій з дисципліни "Управлінський облік"
Конспект лекцій з дисципліни "Управлінський облік" / П. Й. Атамас. – Дніпропетровськ: дуеп, 2005. – 168 с
Конспект лекцій з дисципліни «Статистика» iconКонспект лекцій з дисципліни інформатика та комп’ютерна техніка середовище
Стеців Лілія Іванівна. Конспект лекцій з дисципліни «Інформатика та комп’ютерна техніка» до теми «Середовище програмування Visual...
Конспект лекцій з дисципліни «Статистика» iconСтислий конспект лекцій з дисципліни „ інтелектуальна власність”...
Цибульов П. М., Трибунська К. В. Інтелектуальна власність / Стислий конспект лекцій. – Донецьк.: „Донецький державний університет...
Конспект лекцій з дисципліни «Статистика» iconКонспект лекцій з навчальної дисципліни «Мерчандайзинг» для студентів напряму підготовки
Конспект лекцій з навчальної дисципліни «Мерчандайзинг» для студентів напряму підготовки 050201 «Менеджмент». Рівне: рдгу, 2010.–...
Конспект лекцій з дисципліни «Статистика» iconОпорний конспект лекцій для магістрантів економічного факультету
Опорний конспект лекцій з дисципліни «Соціальна політика» для магістрантів економічного факультету з галузі знань 0305 „Економіка...
Конспект лекцій з дисципліни «Статистика» iconКонспект лекцій з дисципліни „Підприємницьке право” для студентів...
Конспект лекцій з дисципліни „Підприємницьке право” для студентів ІІ курсу денної форми навчання спеціальності „Менеджмент організації”...
Конспект лекцій з дисципліни «Статистика» iconКонспект лекцій з дисципліни „Правове регулювання туристичної діяльності”...
Конспект лекцій з дисципліни „Правове регулювання туристичної діяльності” для студентів IV курсу денної форми навчання спеціальності...
Конспект лекцій з дисципліни «Статистика» iconІ. М. Чістякова, Б. Г. Шевченко, Г. В. Воробйова, С. Й. Лебединський...
Правознавство. Конспект лекцій для студентів усіх спеціальностей. Одеса: Наука І техніка, 2011. 149 с
Конспект лекцій з дисципліни «Статистика» iconКонспект лекцій вступ опорний конспект лекцій з курсу "Гроші та кредит"
Опорний конспект лекцій з курсу "Гроші та кредит" призначений для більш ефективного засвоєння студентами матеріалу цього курсу, а...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Школьные материалы


База даних захищена авторським правом © 2015
звернутися до адміністрації
skaz.com.ua
Головна сторінка