Зміст




НазваЗміст
Сторінка2/9
Дата конвертації19.11.2013
Розмір0.87 Mb.
ТипДокументы
skaz.com.ua > Математика > Документы
1   2   3   4   5   6   7   8   9
^

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА №2



Визначення прискорення сили земного тяжіння

за допомогою математичного маятника та

декремента загасання коливань маятника
Мета роботи: Ознайомитися з власними коливаннями математичного маятника. Визначити період коливань математичного маятника, прискорення сили земного тяжіння, логарифмічний декремент загасання та коефіцієнт загасання.

Необхідні прилади і матеріали: математичний маятник на штативі, секундомір, вимірювальна лінійка.

^

1. Короткі теоретичні відомості


Багато процесів в природі являються періодичними (зміна пори року, артеріального тиску, тощо). Періодичність властива процесам, що відбуваються в біологічних системах (біоритми). Більшість із з них можна розглядати як коливні. Коливним називається рух, що повторюється через певний проміжок часу. Цей проміжок часу, протягом якого повторюються значення всіх фізичних величин, що характеризують коливний рух, називається періодом. За один період здійснюється одне повне коливання. Коливний рух, що відбувається без дії зовнішніх сил, тобто під дією тільки внутрішніх сил системи, називаються вільними коливаннями. Для медиків і біологів важливі поздовжні коливання середовища – звук, інфразвук та ультразвук. Їхні фізичні властивості широко використовується в медицині.

Найзручнішим і простим об'єктом для дослідження коливних процесів є механічна система з одним ступенем вільності , тобто така система, положення якої в просторі у будь-який момент часу повністю визначається одним числом – координатою. Класичним прикладом такої системи є математичний маятник. Математичний маятник – це абстракція: на невагомій нерозтяжній нитці висить матеріальна точка (тіло, що має масу, але не має розмірів). Центр ваги такої системи співпадатиме з центром ваги матеріальної точки. Практично такий маятник створити неможливо, але маленька кулька, підвішена на нитці, розміри якої у багато разів більші за розміри кульки, за своїми властивостями близька до математичного. Якщо таку систему вивести з положення рівноваги на малий кут, вона буде здійснювати гармонічні коливання. Коливання називаються гармонічними, якщо вони описуються рівнянням



(1)

Тут x – відхилення від положення рівноваги, t – час, ω –кутова частота, А – амплітуда, – початкова фаза. Весь вираз () називається фазою коливання. Кутова частота пов'язана з циклічною частотою (числом коливань в одиницю часу) і періодом коливань Т формулами і . Одиниця вимірювання кутової частоти в системі одиниць СІ – радіани в секунду (рад/с).

Вільні коливання системи є простими гармонічними, якщо повертаюча сила хоча б в першому наближенні (при малих зсувах) пропорційна зсуву, тобто є квазіпружною силою. Тоді диференціальне рівняння руху може бути представлено у вигляді



(2)

де m визначає інерцію системи, а (–kx) – повертаюча сила (в узагальненому значенні). Частота власних коливань пов’язана з коефіцієнтами рівняння (2):



(3)


Зупинимось більш детально на розгляді коливань математичного маятника. Рівняння руху коливань математичного маятника - це залежність дугового зсуву маятника S від часу t (рис.1).

Для отримання закону коливання маятника використовуємо рівняння руху Ньютона:

.

(4)

На кульку маятника діє сила тяжіння і сила натягу нитки .




^ Рис.1. Математичний маятник.

Виведемо маятник з положення рівноваги на малий кут . Розкладемо силу на дві складові і . Сила забезпечує коливання маятника. Модуль цієї сили рівний . Використовуючи закон (4), отримаємо . Оскільки , а , то:



(5)

Це і є диференціальне рівняння гармонічного коливання. Тут , -власна циклічна частота гармонічного коливання. Розв’язок цього рівняння дає закон коливань математичного маятника , де - амплітуда коливань (максимальне зміщення маятника від положення рівноваги). Знаючи частоту , можна обчислити період (час одного повного коливання) власних коливань маятника Т:



(6)

Залежність (6) дозволяє визначити прискорення вільного падіння в даному місці Землі за відомим періодом коливань.

Коливання в реальних системах ніколи не відбуваються згідно рівняння (5): у них завжди діють дисипативні сили, що перетворюють механічну енергію на теплову. Відбувається загасання коливань і в цьому випадку коливання вже не будуть гармонічними, оскільки в них змінюється амплітуда коливань і частота, що в свою чергу приводить до зміни періоду коливань. Простим, з математичної точки зору, прикладом таких сил є сили опору. При дії сил опору амплітуда і швидкість коливального руху зменшуються. Практично, найбільший інтерес представляють випадки коливань з невеликими швидкостями, при яких сила опору пропорційна швидкості :

,

(7)

де - коефіцієнт опору. В цьому випадку рівняння руху маятника запишеться в наступному вигляді:



(8)

тобто, крім сили на тіло діє сила опору . Розв’язком цього рівняння є функція виду:



(9)

або вводячи позначення , де отримаємо



(10)

З рівняння (10) слідує, що амплітуда коливань зменшується з часом згідно експоненціального закону (рис.2).







^ Рис.2. Залежність ампдітуди коливань від часу при загасаючих коливаннях.

Відношення амплітуд коливань, що за часом віддалені один від одного на період, називається декрементом загасання.



(11)

Натуральний логарифм цього відношення називається логарифмічним декрементом загасання:



(12)

тут - коефіцієнт загасання. Із (12) знаходимо зв’язок між величинами і :



(13)

Логарифмічний декремент загасання характеризує швидкість зменшення амплітуди і залежить від коефіцієнта опору r середовища. Формулу (9) можемо записати в іншому виді:



(9а)

З формули (9а) видно, що величина, зворотня декременту загасання (точніше, ціла частина цього числа), рівна кількості коливань, за яку амплітуда зменшиться в =2,718 раз.

Для загасаючих коливань із розв’язку рівняння (9) отримаємо значення частоти коливань:



(14)

або враховуючи , :



(15)

Таким чином, частота вільних коливань системи з тертям нижча за частоту коливань тієї ж системи без врахування тертя.

Інколи коефіцієнт загасання співвідносять не періоду T, а часу t коливань. Тоді логарифмічний декремент загасання можна визначити, знаючи значення амплітуди коливань і у які-небудь два моменти часу t1 і t2:



(16)

^ 2. Опис експериментальної установки

Маятник, що використовується в даній роботі, побудований наступним чином. На двох тонких міцних дротинах, що забезпечують коливання маятника в одній площині, підвішують металеву кульку. Якщо маса дроту дуже мала порівняно з масою кулі, то масою дроту можна знехтувати і за довжину маятника вважати віддаль від верхньої точки закріплення дротини до центра кулі. (Центр кулі збігається з центром коливання маятника). Тоді довжина маятника дорівнюватиме довжині дротини плюс радіус кулі :



(16)

Величину прискорення земного тяжіння знаходимо із формули (6):



(17)

Підставляючи значення з формули (16) у формулу (17), дістанемо таку кінцеву робочу формулу:



(18)

^ 3. Порядок виконання роботи

Завдання 1. Визначення прискорення сили тяжіння.

1. За допомогою лінійки знайти довжину дротини.

2. За допомогою штангенциркуля виміряти діаметр кулі в різних напрямках.

3. Відхилити металеву кулю на невеликий кут (3-4°) і відпустити. Коливання повинні відбуватися в одній вертикальній площині.

4. Пропустивши декілька коливань, лічбою „нуль” пустити в хід секундомір у момент проходження маятником положення рівноваги. Для точного визначення положення рівноваги маятника під час коливання на стійці за маятником закріплюють на рівні ока екран із міліметровою шкалою, на якій проводять вертикальну лінію, що відповідає положенню рівноваги. При рівновазі маятника дротина і лінія на екрані повинні лежати в одній вертикальній площині. Перед початком відліку коливань око має бути проти дротини, яка повинна закривати проведену на екрані лінію.

5. Величини та виміряти не менше трьох разів і результати записати у звітну таблицю №1.

6. Відлічивши 50 повних коливань, зупинити секундомір і знайти час, що відповідає 50 повним періодам коливань і визначити період Т та похибку. Результати вимірювань занести у звітну таблицю №2.

7. Пункт 6 повторити щонайменше 5 разів.

8. Визначити прискорення сили тяжіння g за формулою .

9. Визначити похибку g прискорення сили тяжіння:

оскільки , то похибка буде знаходитися наступним чином

;

відносна похибка визначається за формулою: .

В даному випадку більш зручно буде знайти спочатку відносну похибку за формулою:

, а потім похибку g:

.

Звітна таблиця №1.






















































































Звітна таблиця №2.





















g

∆g





































Завдання 2. Визначення декремента загасання маятника і коефіцієнта загасання.

Спосіб 1

1.Виводять маятник із положення рівноваги на невеликий кут (3-4°).

2.Фіксують значення величини амплітуди , що відповідає моменту часу .

3. Записують моменти часу, через які амплітуда коливань зменшується на 2,5 мм. Для цього користуються міліметровою лінійкою, яку розміщено на стінці позаду маятника.

4. Будують залежність амплітуди коливань від часу в напівлогарифмічному масштабі. За нахилом кривої знаходять величину коефіцієнта загасання .

5.Знаючи коефіцієнт загасання і період загасаючих коливань, за формулою (13) визначити логарифмічний декремент загасання . Дані вимірювань заносять в таблицю №3.

Спосіб 2

1.Визначають кількість коливань, за які амплітуда коливань зменшується в е разів. Для цього також використовують міліметрову шкалу, яку розміщено на стінці позаду маятника. Використовуючи формулу , знаходять величину логарифмічного декремента загасання . А далі за формулою (13) знаходять величину коефіцієнта загасання .

2. Порівнюють отримані значення коефіцієнтів і із величинами, отриманими 1-им способом. Дані заносять в таблицю №3
^ Таблиця №3

визначення коефіцієнта загасання та логарифмічного декремента загасання




t


























































4 Контрольні запитання, задачі

1. Що таке коливний рух?

2. Які коливання називаються гармонічними, вільними, загасаючими?

3. Що таке зміщення, амплітуда, період, частота, фаза коливань?

4. Записати диференціальне рівняння вільних коливань?

5. Записати диференціальне рівняння загасаючих коливань?

6. Що таке коефіцієнт загасання і логарифмічний декремент загасання?

7. «Світ, в якому ми проживаємо, дивовижно схильний до коливань. Коливаються навіть атоми, з яких ми складаємося» (Р.Бішоп). Які власні частоти органів людського тіла ви можете назвати?

8. Як зміниться енергія гармонічних коливань, якщо: а) амплітуду коливань збільшити втричі, а частоту зменшити втричі? б) амплітуду коливань зменшити вдвічі і частоту зменшити вдвічі?

10. Визначити резонансну частоту руки людини v, розглядаючи її як фізичний маятник зі зведеною довжиною L. (Т=2π(L/g)1/2).

11. Амплітуда хвиль у відкритому океані порівняно мала – 1-2 м, але при виході на мілину утворюються хвилі величезної амплітуди. Чому?

(При виході на мілину швидкість хвиль різко зменшується, кінетична енергія хвилі переходить у потенціальну, і утворюються хвилі величезної амплітуди.)

12. «Пізнай, який ритм володіє людьми» (Архілох, давньогрецький поет). Що таке хронотерапія? хронопатологія? Які завдання вирішує хронофармакологія?

(Хронотерапія – область експериментальної і клінічної медицини, що вивчає шляхи і механізми виникнення відхилень у біоритмах від їх нормального перебігу і роль цих порушень у розвитку захворювань. Призначення хронотерапії – застосувати ліки з урахуванням часу доби, коли їх дія забезпечує найбільший ефект.)

13.Що називається синхронізацією коливань? Назвіть приклади застосування синхронізації коливань у медицині.

(Синхронізація коливань – встановлення і підтримування такого режиму коливань двох або кількох пов’язаних систем, при якому частоти рівні, кратні або знаходяться в раціональному відношенні одна з одною. Синхронним є ходіння людей у ногу, оплески на концертах. Синхронізація притаманна і біологічним об’єктам: зграя птахів махає крилами синхронно; при русі косяка риб рухи їх плавників теж синхронні. Застосовується синхронізація коливань зокрема у кардіології. Хворим із порушенням ритму серця вживлюють електронний синхронізатор серцевого ритму, т.зв. кардіостимулятор.)
5.Література

  1. Ессаулова И.А. и др. Руководство к лабораторным работам по медицинской и биологической физике.:М., „Высшая школа”, 1987.

  2. І.М.Кучерук, І..Т. Горбачук, П.П. Луцик. Загальний курс фізики. Механіка. Молекулярна фізика і термодинаміка.:Київ, „Техніка”,1999, т.1.С.209-242.

  3. Бранков Г. Основы биомеханики.- М.: Мир, 1981.

  4. Ємчик Л., Кміт Я. Медична і біологічна фізика.- Львів: Світ, 2003.

  5. Медична і біологічна фізика./ За ред. О.В.Чалого. Підручник для студентів вищих медичних закладів освіти ІІІ-ІV рівнів акредитації.- К.: ВІПОЛ, 2005.

  6. Ремизов А.Н. Медицинская и биологическая фізика: Учеб. для мед.вузов.- М.: Высшая школа, 1996.

  7. Федишин Я.І. Фізика з основами біофізики. Львів: Світ, 2005.



1   2   3   4   5   6   7   8   9

Схожі:

Зміст iconІнвестиційні ресурси Зміст
...
Зміст iconСутність, функції, структура шкільних програм І підручників
Навчальна програма – документ, що визначає зміст І обсяг знань з кожного навчального предмета, умінь І навмчок, які необхідно засвоїти,...
Зміст icon9. Зміст освіти в загальноосвітній школі
Зміст загальної середньої освіти це частина культури соціального досвіду суспільства, яка використовується в навчальному процесі...
Зміст iconКунда Святе Письмо заперечує навчання свідків єгови зміст
Читаючи цю книжку, виявіть терпеливість, до якої закликають апостоли, І, відкидаючи різноманітні застереження, глибоко вникніть у...
Зміст icon8 Зміст основних розділів бізнес-плану Зміст та структура бізнес-плану...
Резюме фактично є стислою версією плану, своєрідним “повідомленням про наміри”. Хоч резюме наводиться на самому початку бізнес-плану,...
Зміст iconПлан лекції. Економічний, соціальний І правовий зміст зайнятості....
Необхідність І зміст регулювання зайнятості населення на державному, регіональному І виробничому рівнях
Зміст iconПродуктивність та оплата праці. Зміст
Зміст: Визначення рівня продуктивності праці. Обчислення показників ефективності зростання продуктивності праці
Зміст iconТема Зміст та система сучасного маркетингу Зміст теми
Соціально-економічна сутність маркетингу, еволюція змісту та форм маркетингу, характерні особливості сучасного маркетингу
Зміст iconВиробнича програма та її ресурсне обҐрунтування Зміст І порядок розроблення...
Виробнича програма є надзвичайно важливим розділом плану роботи підприємства І його виробничих підрозділів, оскільки вона виражає...
Зміст iconПам’ятка студенту при виконанні розділу дипломного проекту (роботи)
Зміст розділу повинен відповідати темі дипломного проекту (роботи). Для контролю такої відповідності рекомендується стисло (1-2 строки)...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Школьные материалы


База даних захищена авторським правом © 2015
звернутися до адміністрації
skaz.com.ua
Головна сторінка